Dejemos que $A', A''$ sean los respectivos anillos de valoración de $K', K''$ . Entonces $A'\otimes_A A''$ no está ramificado sobre $A$ (discriminante usado por ejemplo), por lo que es integralmente cerrado (pero no integral en general) porque algo étale sobre anillo normal es normal. En particular es un producto finito de anillos de valoración discreta $\prod_i A_i$ . Su anillo total de fracciones es $K'\otimes_K K''=\prod_i \mathrm{Frac}(A_i)$ . Consideremos el mapa canónico $$ A'\otimes_A A''\to B, \quad a'\otimes a''\mapsto a'a''.$$ Su imagen es un cociente integral de $A'\otimes A'''$ de ahí que sea uno de los factores, digamos, $A_1$ . Entonces tenemos $K'K''=\mathrm{Frac}(A_1)$ . El campo de residuos de $K'K''$ es el campo de residuos de $A_1$ , igual a la imagen de $k'\otimes_k k'$ en el campo de residuos de $B$ y esto es sólo $k'$ .
P.D. No tengo suficiente reputación para comentar. Esta prueba es quizás demasiado complicada. Deberías no aceptar esta respuesta, para que otras personas puedan aportar algo más sencillo. La primera prueba no me convence porque podemos levantar dos raíces diferentes de $f(T)\in k[T]$ definir $k'$ a dos raíces diferentes $t_1, t_2\in B$ de una elevación $F(T)\in A[T]$ de $f(T)$ y considerar $K'=K[t_1]$ , $K''=K[t_2]$ . Si $k'/k$ no es Galois, $K'$ será diferente de $K''$ en general.
