Subconjunto de $(l^{2},d_{2})$ está abierto

Question

Demostrar que $A = \{\phantom{i}\{x_{n}\} \in l^{2} \hspace{2mm}:\hspace{2mm} |x_{n}| < 1, \forall \phantom{i}n \in \mathbb{N}\phantom{i} \}$ está abierto en $(l^{2},d_{2})$ . El $d_{2}$ métrica es:

$$ d_2(x,y) = \bigg(\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i} - y_{i}|^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}. $$

He iniciado la prueba de la siguiente manera pero no veo la opción de $\epsilon$ para esta prueba.

Para demostrar esta igualdad, basta con mostrar que $A \subset \text{Int}(A)$ . Por lo tanto, dejemos que $\xi \in A$ . Sabemos que $|\xi_{i}| < 1$ para todos $i \in \mathbb{N}$ . Dejemos que $\epsilon =?? $ . Afirmamos que $B_{\epsilon}(\xi) \subset A$ . Por lo tanto, dejemos que $x \in B_{\epsilon}(\xi)$ . Así, $d_{2}(x,\xi) < \epsilon$ .

Answer 1

El punto clave es que, como $\forall x\in\ell^2,\ \lim_{n\to\infty}x_n=0$ debe mantener $$\xi\in A\implies \exists\, \alpha_\xi>0\ \ \forall n,\ \lvert \xi_n\rvert<1-\alpha_\xi$$

Así que, $\varepsilon=\alpha_\xi$ funciona, ya que se mantiene, en general, $$\forall n,\ \lvert x_n-y_n\rvert\le d_2(x,y)$$

Answer 2

Sugerencia, para ${x_n},{y_n}$ pertenecen a $l^2$ c=sup| $x_n|<1,$ dejar $\epsilon$ =1-c,si||x-y||< $\epsilon$ entonces $x_n-y_n$ |< $\epsilon$ ,cualquier n.$

Answer 3

Otra posibilidad es reescribir el conjunto: $$ A=f^{-1}(0,1),$$ donde $$ f(\boldsymbol{x})=\max_{j\ge 1} \lvert x_j\rvert,\qquad \boldsymbol{x}\in\ell^2$$ es una función $$ f\colon \ell^2\to [0, \infty).$$ Si demuestra que $f$ es continua, entonces $A$ es abierto, siendo la preimagen de un conjunto abierto. Pero $f$ es en realidad una norma, por lo que es continua si y sólo si existe una constante $C>0$ tal que $$ f(\boldsymbol{x})\le C\lVert \boldsymbol x\rVert_{\ell^2}.$$ Esta última desigualdad se mantiene con $C=1$ No debería ser difícil verlo.

P.D.: ¿Por qué esta desigualdad implica que $f$ es continua? Porque se tiene lo siguiente: $$ |f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y) |\le f(\boldsymbol x - \boldsymbol y) \le C\lVert \boldsymbol x -\boldsymbol y\rVert_{\ell^2}, $$ así que $f$ es realmente continua de Lipschitz.