En $\lim\limits_{n→∞}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}-2\sqrt n\right)$ ¿Existe?

Question

¿El límite $\displaystyle\lim_{n}\left(\sum_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt k}-2\sqrt n\right)$ ¿Existe? Con la prueba integral podría hacer este límite: $$-2<\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}-2\sqrt n\le-1.$$ ¿Cómo abordaría usted este problema?

Answer 1

Asumiendo que conoces los números armónicos generalizados $$\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}=H_n^{\left(\frac{1}{2}\right)}$$ Ahora, utilizando la asintótica de los mismos $$H_n^{\left(\frac{1}{2}\right)}=2 \sqrt{n}+\zeta \left(\frac{1}{2}\right)+\frac 1{2\sqrt{{n}}}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ haciendo $$\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}-2\sqrt{n}=\zeta \left(\frac{1}{2}\right)+\frac 1{2\sqrt{{n}}}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ donde $\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\approx -1.46035$

Intentémoslo por $n=10$ el cálculo "exacto" daría $-1.30356$ mientras que la aproximación daría $-1.30224$ .

Answer 2

Poner $$a_n = \sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt{k}} -2 \sqrt{n}.$$ Tenemos $$a_{n+1} -a_n = \frac1{\sqrt{n+1}} -2(\sqrt{n+1} -\sqrt{n}) = \frac1{\sqrt{n+1}} -\frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = -\frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} +\sqrt{n})}< 0.$$ Entonces $a_n$ es una secuencia decreciente. Además $a_n > -2$ . Por lo tanto, existe el límite $\lim_{n\to \infty} a_n$ .