Intersección de un punto y una función de valor absoluto contenida en un círculo

Question

Estoy intentando algunas ideas locas mientras programaba un juego y me encontré con el siguiente problema matemático que me ha estado molestando durante unos días:

Dado un círculo unitario y un punto aleatorio $P$ dentro del círculo, ¿cuál es la ecuación que mapea una función de valor absoluto como $y = 1 - |1-x|$ de manera que el lado izquierdo pasa por el origen, el lado derecho pasa por el $P$ ¿Y el vértice de la función de valor absoluto está en el círculo? Si sirve de ayuda, sólo me preocupa el cuadrante superior derecho.

El resultado final sería un triángulo isósceles con longitudes de lado 1 (el radio) que trata el círculo como una especie de superficie reflectante, pero la reflexión es como la de una superficie horizontal (invirtiendo sólo y, no x.) Calculé la función de "altura" del círculo como $y = \sqrt{1-x^2}$ pero no estoy seguro de cómo usarla para crear una función de valor absoluto que también pase por $(0,0)$ y $P$ . Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Una forma general de todas las funciones de valor absoluto (traducidas y escaladas) es

$$y=a+k|x+b|$$

Hay tres condiciones. La ecuación debe pasar por el origen:

$$a=-k|b|$$

El vértice debe estar en el círculo unitario:

$$a^2+b^2=1$$

Y la ecuación debe pasar por $P=(p_x,p_y)$ :

$$p_y=a+k|p_x+b|$$

Para encontrar una función de valor absoluto que satisfaga estos requisitos, tendrás que resolver estas tres ecuaciones simultáneas para $a$ , $b$ y $k$ .

Answer 2

Los enunciados de la respuesta que ya tienes son todos correctos. Aquí tienes una forma más explícita de resolver las ecuaciones necesarias, asumiendo las coordenadas de $P$ son $(p_x,p_y)$ y ambas coordenadas son positivas.

El vértice de la función deseada se encuentra en la intersección de la recta $y=\frac{p_y}{p_x} x$ y el círculo $x^2 + y^2 = 1$ , por lo que es el punto $$A = \left(\frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}, \frac{p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}\right).$$ La condición de que la función pase por el origen determina que para $x < \frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}$ la función debe seguir la fórmula $$y = \frac{p_y}{p_x} x, \tag1$$ y su condición de "reflexión" requiere que para $x > \frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}$ , la función debe seguir la fórmula $$y = \frac{p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} - \frac{p_y}{p_x}\left(x - \frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}\right).\tag2$$

Podemos reunir todo esto en una ecuación que da el valor de la función para cualquier número real $x$ ,

$$y = \frac{p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} - \frac{p_y}{p_x}\left|x - \frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}\right|.$$

Para $x > \frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}$ esto es claramente lo mismo que ecuación $(2)$ y para $x < \frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}$ los términos constantes se cancelan, por lo que el valor de la función definido aquí es entonces el mismo que el valor dado por la ecuación $(1)$ ; y por supuesto cuando $x = \frac{p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}$ , $y = \frac{p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}$ .