El tratamiento en Baby Rudin es horrible. Creo que no he conocido a nadie que no se sintiera completamente confundido por ello. No eres el único. (Y yo advertiría de que no intenten leer los últimos capítulos, también. En particular, por favor, no intentes aprender la integración de Lebesgue con ese libro).
Un tratamiento adecuado requiere aprender algo de geometría diferencial básica. Mi introducción favorita es el libro de Loring Tu Introducción a los colectores . Cubre todo el material necesario para el teorema de Stokes, demuestra el teorema y hace aún más.
En cuanto a la intuición, debes pensar en el teorema de Stokes como una versión generalizada de teoremas como el teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green. El teorema de Stokes dice $$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega,$$ donde $M$ es algún colector y $\omega$ es alguna "forma diferencial" en $M$ y $\partial M$ es el límite de $M$ .
Cuando $M$ es un intervalo $[a,b]$ obtenemos $$\int_{\{a,b\}} f = \int_{[a,b]} f'(x)\, dx$$ que no es más que el teorema fundamental habitual del cálculo. Aquí el límite de $M=[a,b]$ es sólo el conjunto de puntos finales $\{a,b\}$ y $\omega=f$ .
También podemos ver el caso cuando $M$ es un dominio bidimensional en el plano. Resulta que en este caso el teorema de Stokes recupera el teorema de Green.
