Para demostrar que el producto de Cauchy diverge

Question

$$ \sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} $$

$a)$ Demuestre que esta serie converge - es fácil demostrar que $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} = 0 $

$b)$ Demuestre que el producto de Cauchy con él mismo es divergente.

Edición: Según mi libro el producto de Cauchy de dos secuencias $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n$ y $\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n$ se define por $\sum_{n \in \mathbb{N}} c_n$ donde-

$$ c_n = \sum_{k=0}^{n} a_{n-k} b_{k} $$

Answer 1

Si $a_n = b_n = (-1)^n/\sqrt{n+1}$ entonces el producto de Cauchy es

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.$$

Tenga en cuenta que

$$c_n = \sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}= \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}\\= (-1)^n\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{n-k+1}}.$$

Entonces

$$|c_n| = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{n-k+1}}\geq \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{n+1}}\frac{1}{\sqrt{n+1}}= 1.$$

Desde $c_n$ no converge a $0$ , $\sum c_n$ diverge.

Tenga en cuenta que

$$\frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{n-k+1}} \geq \frac{1}{\sqrt{n+1}}\frac{1}{\sqrt{n+1}}= \frac1{n+1}$$ puede mostrarse como sigue:

$$\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1} = \sqrt{nk-k^2+n+1} \leq \sqrt{n^2 + 2n +1}= n+1.$$

Answer 2

La serie dada converge por la prueba de Leibniz. Sobre su producto de Cauchy consigo mismo: el término general (índice par) de ese producto es

$$c_{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\frac{(-1)^{2n-k}}{\sqrt{2n-k+1}}=$$

$$=\frac1{\sqrt{2n+1}}+\frac1{\sqrt2\sqrt{2n}}+\frac1{\sqrt3\sqrt{2n-1}}+\ldots\frac1{\sqrt{2n+1}}=$$

$$2\left(\frac1{\sqrt{2n+1}}+\ldots+\frac1{\sqrt n\sqrt{n+1}}\right)\ge2\frac n{\sqrt n\sqrt{n+1}}\rlap{\;\;\;\;\;/}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$$