Evaluar $\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\sin\pi x}$ sin L'Hopital

Question

Estoy tratando de evaluar el límite dado sin usar la regla de L'hopitals. $$\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\sin(\pi x)}$$ Sustitución de $x$ por $1$ lleva a $\frac{0}{0}$ .

He probado a multiplicar por $\frac{1+x^2}{1+x^2}$ y resubir el $\sin x$ factor por hacer:

$$\frac{x}{\sin x} \cdot \frac{(\frac{1}{x} -x)}{\pi}$$

así que $\frac{x}{\sin x} = 1$ pero entonces el resultado sigue siendo $\frac{0}{\pi}$ . Todas las demás opciones que veo también conducen a $\frac{0}{0}$ y estoy demasiado seguro de cómo proceder. Cualquier sugerencia es muy bienvenida.

Answer 1

Utilizando la sustitución $x=1-y$ y la propiedad $\sin(\pi-z)=\sin(z)$ tenemos

$$ \lim_{x\to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\sin(\pi x)}=\lim_{y\to 0}\frac{y(2-y)}{\sin(\pi y)}=\lim_{y\to 0}\frac{\pi y}{\sin(\pi y)}\cdot\frac{2-y}{\pi}=\color{red}{\frac{2}{\pi}}.$$

Answer 2

Escriba $$\frac{1-x^2}{\sin\pi x}=\frac{1-x^2}{\sin(\pi-\pi x)}=\frac{1-x^2}{\sin\pi(1- x)}=\frac{(1-x)(1+x)}{2\sin\frac{\pi(1- x)}{2}\cos\frac{\pi(1- x)}{2}}=\frac12\times\frac{2}{\pi}\frac{\frac{\pi(1- x)}{2}}{\sin\frac{\pi(1- x)}{2}}\times\frac{1+x}{\cos\frac{\pi(1- x)}{2}}$$ así que $t=1-x$ tenemos $$\lim_{x\to1}\frac{1-x^2}{\sin\pi x}=\lim_{t\to0}\frac12\times\frac{2}{\pi}\frac{\frac{\pi t}{2}}{\sin\frac{\pi t}{2}}\times\frac{2-t}{\cos\frac{\pi t}{2}}=\frac12\times\frac{2}{\pi}\times\frac{2}{1}=\color{red}{\frac{2}{\pi}}$$