Ecuación de recursión y búsqueda del factor primo impar

Question

Estaba navegando al azar en un sitio que contiene preguntas de varios temas de ciencia y matemáticas y encontré este problema:-

Entonces traté de resolverlo pero sólo pude proceder hasta la solución general de la secuencia que es, $a_{n}=\frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\}$ ¿hay alguna manera de dirigir desde aquí?

Gracias.

Answer 1

La secuencia $a_n =\{1,2,7,26,97\cdots\}$ es $A001075$ en la OEIS .

---

Para cada $n$ , $a_0$ divide $a_n$ , $a_1$ divide $a_{2n+1}$ , $a_2$ divide $a_{4n+2}$ , $a_3$ divide $a_{6n+3}$ y así sucesivamente. En general, $a_{k}$ divide $a_{(2n+1)k}$ Puede encontrar una prueba de esta afirmación aquí en el problema $A2$ . Pero, daré un pequeño resumen a continuación.

Prueba : Usted ha procedido correctamente que $a_n =\frac{(2+\sqrt{3})^n +(2-\sqrt{3})^n}{2} = \frac{a^n + b^n}{2} \forall n$ donde $a = 2+\sqrt{3}$ y $b =2-\sqrt{3}$ . Si $k$ es impar entonces $$\frac{a_{kn}}{a_n} = \frac{a^{kn} + b^{kn}}{a^n + b^n} = a^{(k-1)n}-a^{(k-2)n}b^n \cdots + b^{(k-1)n}$$ Esta expresión es racional (porque $a_n$ y $a_{kn}$ son enteros) y de la forma $\alpha +\beta\sqrt{3}$ para algunos enteros $\alpha, \beta$ mediante las expresiones para $a,b$ se deduce que debe ser un número entero, por lo que $a_{kn}$ es divisible por $a_n$ .

En nuestro problema, podemos escribir $a_{2015} = a_{(2\times 201+1)5}$ . Así, $a_5$ divide $a_{2015}$ . Como sabemos, $a_{5} = 362$ el mayor factor primo que divide a $a_{2015}$ es por lo tanto $181$ . Espero que sea de ayuda.