Dejemos que $G = GL(2,F)$ y $B$ sea el subgrupo de matrices triangulares superiores en $G$ . Mostrar $ B \backslash G/B = \{ B,BwB \} $

Question

Pregunta completa:

Dejemos que $G = GL(2,F)$ y $B$ sea el subgrupo de matrices triangulares superiores en $G$ . Demostrar que $ B \backslash G/B = \{ B,BwB \}$ donde $w \in GL(2,F) $ es la matriz $ \left( {\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} } \right) $

*Nota:

$ H \backslash G/K = \{\, HgK \mid g \in G\}$ denota el conjunto de todos los cosets dobles. Definir una relación de equivalencia $\sim$ en $G$ como: para $ x,y \in G, \, x \sim y \iff \exists \, h\in H,k\in K$ tal que $x=hyk $ . De lo que se desprende que las clases de equivalencia de $a\in G$ son $HaK$ y $G=\bigcup\limits_{x\in G} HxK$

Mi intento : Claramente $\{B,BwB\} \subseteq B\backslash G/B.$ Ahora $\forall a_i,b_i,c_i \in F ,\,\, A,A' \in B$ y $M \in G$ considerar,

$$ AMA' = \left( {\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \\ \end{array} } \right) $$ $$ = \left( {\begin{array}{cc} a(a_2a_1)+c(a_2b_1) & a(b_2a_1)+b(c_2a_1)+c(b_1b_2)+d(c_1c_2) \\ c(c_1a_2) & c(b_2c_1)+d(c_2c_1) \\ \end{array} } \right) $$

si $c=0$ entonces esto implica $AMA' \in B$ . Si $c\neq 0 $ Entonces tengo que mostrar $AMA' \in BwB$ .

Ahora no puedo seguir avanzando en la prueba. ¿Hay alguna otra forma mejor de resolver este problema?

Answer 1

Si $c \neq 0$ se necesita encontrar dos matrices triangulares superiores $M_1, M_2$ tal que $M_1 \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}M_2 = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ .

Intenta pensar en términos de operaciones de fila y columna. La primera reducción que hay que intentar es aplicar dos operaciones de cizallamiento, es decir, encontrar $b_1, b_2$ tal que $$ \begin{bmatrix}1 & b_1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & b_2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & b' \\ c & 0\end{bmatrix}. $$

Esto es posible ya que $c \neq 0$ . Entonces, basta con otra matriz de escala, ya sea en la parte delantera o en la trasera.