La localidad en la mecánica cuántica

Question

Se habla de localidad o no localidad de una ecuación en QM, dependiendo de si no tiene operadores diferenciales de orden superior a dos.

Mi pregunta es, ¿cómo se podría saber mirando las soluciones concretas de la ecuación si la ecuación era local o no... o, dicho de otro modo, qué significaría decir que una solución concreta era no local?

edit: permítanme enfatizar que esto surgió de un problema de la mecánica cuántica de una partícula. (Ec. de Klein-Gordon) Permítanme aclarar que estoy preguntando cuál es la significado físico de decir que una solución, o un espacio de soluciones, es no local. Las respuestas que dependen de la formulario de la ecuación son... mejor que nada, pero espero una respuesta más física, ya que son las soluciones las que son físicas, no la forma de escribirlas ....

Esta pregunta, que ya había leído, está relacionada pero la relación no está clara. ¿Por qué los lagrangianos de orden superior se llaman "no locales"?

Answer 1

Suponiendo que no hay restricciones no locales, un operador diferencial que es polinómico en operadores diferenciales es local, no tiene que ser cuadrático. Tengo entendido que las funciones irracionales o trascendentales de los operadores diferenciales son generalmente no locales (aunque eso es quizás una cuestión para math.SE).

Un determinado espacio de las soluciones implica una elección particular no local de las condiciones de contorno, a menos que las ecuaciones se encuentren en una variedad compacta (que, sin embargo, es en sí misma una estructura no local). Siempre hay un elemento de no localidad cuando hablamos de soluciones en contraste con las ecuaciones.

[Para el anti -localidad del operador $(-\nabla^2+m^2)^\lambda$ para la dimensión impar y la dimensión no entera $\lambda$ Se puede ver I.E. Segal, R.W. Goodman, J. Math. Mech. 14 (1965) 629 (para una revisión de este trabajo, véase aquí ).]

EDIT: Lo siento, debería haber ido directamente al teorema de Hegerfeldt. La ecuación de Schrodinger se parece lo suficiente a la ecuación del calor como para ser no local en el sentido de Hegerfeldt. Hay dos teoremas, de 1974 en PRD y de 1994 en PRL, pero en arXiv:quant-ph/9809030 tenemos, por supuesto con referencias a los originales,

Teorema 1. Considérese una partícula relativista libre de signo positivo o de masa positiva o nula y de espín arbitrario. Supongamos que en el momento $t=0$ la partícula se localiza con probabilidad 1 en una región acotada V . Entonces existe una probabilidad no nula de encontrar la partícula arbitrariamente lejos en cualquier momento posterior.

Teorema 2. Sea el operador $H$ sea autoadjunto y acotado desde abajo. Sea $\mathcal{O}$ sea cualquier operador que satisfaga $$0\le \mathcal{O} \le \mathrm{const.}$$ Dejemos que $\psi_0$ sea un vector cualquiera y defina $$\psi_t \equiv \mathrm{e}^{-\mathrm{i}Ht}\psi_0.$$ Entonces una de las dos alternativas siguientes alternativas. (i) $\left<\psi_t,\mathcal{O}\psi_t\right>\not=0$ para casi todos los $t$ (y el conjunto de tales t es denso y abierto) (ii) $\left<\psi_t,\mathcal{O}\psi_t\right>\equiv 0$ para todos $t$ .

Cómo entender exactamente el teorema de Hegerfeldt es otra cuestión. Parece casi como si no se mencionara porque es muy inconveniente (el segundo teorema, en particular, tiene un enunciado bastante simple con condiciones bastante generales), pero mucho depende de cómo definamos lo local y lo no local.

Suelo tomar el teorema de Hegerfeldt como un cognado no relativista del teorema de Reeh-Schlieder en la QFT axiomática, aunque eso es quizás heterodoxo, donde la microcausalidad es casi la única definición de local. La microcausalidad es uno de los axiomas que conducen al teorema de Reeh-Schlieder, por lo que no hay no localidad.

Answer 2

Una forma de decirlo es en términos del problema con condiciones de contorno fijas. Si se tiene una ecuación diferencial con operadores derivados locales, y se impone una condición de contorno que $\psi$ es cero en la superficie de una esfera engrosada de pequeña anchura positiva $\epsilon$ para siempre, entonces cualquier cosa que hagas en el interior de la esfera no afectará al exterior de la misma.

Esto es cierto cuando el hamiltoniano es un polinomio, ya que si haces una aproximación de celosía, sólo un número finito de vecinos de celosía contribuyen a la derivada del tiempo en cualquier punto. Si haces un hamiltoniano no local, como tomar la raíz cuadrada de $\nabla^2 + m^2$ para obtener la energía positiva Propagador de Klein Gordon, no se podrá expresar en términos de número finito de vecinos de la red, y la partícula podrá salir del interior de una esfera para influir en el exterior.

Lo he expresado utilizando condiciones de contorno adicionales porque una condición inicial de función delta no relativista se extenderá a todo el espacio instantáneamente incluso utilizando un Hamiltoniano polinómico, por lo que no es local en el sentido de una velocidad de propagación máxima finita. Todavía hay una distinción entre operadores locales y no locales, pero se expresa mejor en términos de cómo la posición de la red x depende de la posición de la red x' cuando x-x' se convierte en un gran número entero de espaciamientos.

Answer 3

La noción matemática de un operador local es que si el operador $T$ se aplica a una función suave $f$ entonces $Tf(x)$ sólo depende del comportamiento de $f$ en un barrio de $x$ y la vecindad puede ser arbitrariamente pequeña. En particular, el soporte de $Tf$ tiene que estar dentro del soporte de $f$ . Un operador local, en este sentido, tiene que ser un operador diferencial.

Esta es una noción matemática que es relevante para saber si se puede definir $T$ en una variedad lisa arbitraria de forma independiente de las coordenadas, pero no parece muy físico ya que, como se ha señalado en este sitio (Ver Uso de operadores en la mecánica cuántica donde la pregunta "si simplemente aplico el operador de momento a la función de onda $ih{d \over dx}\Psi$ ¿Obtendré una ecuación que proporcione el impulso para una posición determinada? ¿O es una cosa matemática inútil que acabo de hacer? " se responde con "Lo primero que has hecho es inútil"), simplemente tomando un observable $Q$ o un hamiltoniano $H$ y aplicándolo a una función de onda $\psi$ no es muy físico. Lo que es físico es $e^{-iHt} \psi$ o los valores propios de $H$ o de $Q$ . Por esta razón, la pregunta se formuló en términos de si se podía decir a partir de la función de onda o de su evolución si las cosas eran físicamente "locales" o no. Hasta donde puedo decir, la única respuesta concreta a esto es si la evolución del tiempo violaría la causalidad de Einstein o no.

Es bien sabido que la noción de observable en la Mecánica Cuántica Relativista es enmarañada (los observables de posición de Newton--Wigner son famosamente no locales) y, por otra parte, la interpretación de Born de la función de onda también se vuelve problemática (con la ecuación de Klein--Gordon, conduce a probabilidades negativas). (Estas dificultades pueden eludirse en la Teoría Cuántica de Campos, pero entonces, como todos sabemos, surgen nuevas dificultades). Quizás esto pone en duda la conexión entre los "observables" de la Mecánica Cuántica Relativista, incluso la mecánica de una partícula, y las mediciones reales, físicas...

Gracias a todos los que han intentado ayudar, y especialmente a las referencias tan útiles. Y corregidme si me he equivocado aquí.

Answer 4

Este es el punto de vista de un físico experimental.

La localidad para mí significa que las soluciones que representan a una partícula dan a la partícula como local, es decir, una vez dadas las condiciones de contorno, todos sus observables e interacciones dependen de funciones como f(x,y,z,t), (x,y,z,t) un punto.

No local significa que las soluciones que dan los observables y las interacciones de una partícula dependen de un volumen extendido alrededor de cada punto espacio-temporal (x,y,z,t).

Experimentalmente buscaría la no localidad en las interacciones, que ya no serían interacciones puntuales ( diagramas de Feynman) sino que tendrían que ser diagramas extendidos sobre el volumen de la no localidad, y por tanto los valores medidos para los observables serían diferentes a los valores predichos desde la teoría local si la teoría no local se mantiene, dada la suficiente precisión experimental.