Función zeta de Dedekind de un campo cuadrático imaginario

Question

Hace tiempo que sé que $\zeta_K(s)=\frac{1}{\mid \mathcal{O}_K^\times \mid}\sum_{[a,b,c]\in C_i} \sum_{(n,m) \neq (0,0)} \frac{1}{(am^2+bmn+cn^2)^s}$ donde $C_i$ es una clase de formas cuadráticas de discriminante $\Delta_K$ . Mi pregunta es, ¿cómo llegamos aquí desde $\zeta_K(s)=\sum_{I\subset \mathcal{O}_K} \frac{1}{N(I)^s}$ ?

Puedo llegar a $\zeta_K(s)=\sum_{c\in C_k} \sum_{I \sim c, I \subset \mathcal{O}_K}\frac{1}{N(I)^s}$ y mi siguiente idea es utilizar el hecho de que dos ideales son equivalentes si $aI=bI_c$ para cualquier $a,b \in\mathcal{O}_k$ lo que me hace querer cambiar la suma a $\zeta_K(s)=\sum_{c\in C_k} \sum_{I_c \in c, a \in \mathcal{O}_K}\frac{1}{N(aI_c)^s}$ aunque creo que esto es incorrecto porque $a$ no tiene que ser necesariamente en $\mathcal{O}_k$ puede ser en el campo $K$ aunque no estoy seguro de qué conjunto específico de números, S, hacen que $\left \{ aI_c \mid a\in S, I_c\in c \right \}=c$ . Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

• En primer lugar hay que hacer corresponder las clases ideales de los campos cuadráticos con las formas cuadráticas binarias, para ello encontraremos que $I_c$ es de índice finito en un $\Bbb{Z}$ -de rango $2$ así $I_c=u\Bbb{Z}+v\Bbb{Z}$ . Entonces $q(n,m)=N_{K/Q}(nu+mv)$ es una forma cuadrática, a la inversa cualquier forma cuadrática es $an^2+bnm+cm^2=a(n-um)(n-u^* m)=aN_{F/Q}(u)$ con $u=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2}$ .

• A partir de ahí hay que trabajar un poco para demostrar que si la forma cuadrática no es primitiva entonces la red no es una $O_K$ -pero sólo un $O$ -para algún subring.

• Dado un ideal $I_c\subset O_K$ elija otro ideal $I_{c^{-1}}\subset O_K$ tal que $I_cI_{c^{-1}}=(a)$ es principal entonces $I \subset O_K$ está en la clase $c$ si $I= \frac{b}{a}I_c$ con $b \in I_{c^{-1}}$ . Además $\frac{b}aI_c,\frac{b_2}aI_c$ son el mismo ideal si $b_2 \in b O_K^\times$ así $$\sum_{I \subset O_K, I \sim c} N(I)^{-s}=\sum_{b \in I_{c^{-1}}/O_K^\times} N(\frac{b}{a} I_c)^{-s}=\frac{N(I_c)^{-s}}{N(a)^{-s}} \sum_{b \in I_{c^{-1}}/O_K^\times} N(b)^{-s}$$

• Si $K = \Bbb{Q}(\sqrt{D})$ entonces $I_{c^{-1}}=u\Bbb{Z}+v\Bbb{Z}$ , si $D< 0$ entonces $O_K^\times$ tiene un número finito de elementos ( $2,4$ o $6$ ) y $N(\alpha) = |\alpha|^2$ para que $$\sum_{b \in I_{c^{-1}}/O_K^\times} N(b)^{-s}= \frac1{|O_K|^\times}\sum_{(n,m) \ne (0,0)} |nu+mv|^{-2s}$$