Encontrar $x\in \mathbb{Z}$ tal que $54x^3+1$ es un cubo

Question

Encontrar $x\in \mathbb{Z}$ tal que $54x^3+1$ es un cubo.

---

Encontré $x=0$, todos los demás ?

Answer 1

Creo que el trivial solución que tienes es la única solución. Necesitamos $54x^3 + 1 = y^3$. Deje $v =3x$$u = y$. Entonces la ecuación es: $$1 - u^3 = 2v^3$$

Sin embargo, hay un resultado inicial por Euler (creo) que dice que la suma o diferencia de dos cubos no puede ser el doble que en otro cubo, si no es el caso trivial de que tanto los cubos de ser el mismo.

EDIT: veo que alguien ya había comentado en líneas similares. De Euler de referencia puede ser obtenido aquí GoogleBook Teorema de 247.

Answer 2

La curva de $54x^3+1=y^3$ es la ecuación de una curva elíptica. Deje $C: 54U^3+V^3=W^3$ ser el projectivization de la curva original, y contemos $[0,1,1]$ a ser el origen de la adición de ley sobre la curva elíptica.

El cambio de variables $$\begin{cases} U = X/18,\\ V=-Y,\\ W=-Y+Z/324,\\ \end{casos}$$ da un birational equivalencia de $C$$E: X^3 - Y^2Z + 1/324YZ^2 - 1/314928 Z^3=0$, lo que podemos de-homogeneizar a ser $E: y^2 - 1/324 y = x^3 - 1/314928$ (que a su vez puede ser simplificado a ser $y^2=x^3-27$, pero no vamos a utilizar este último modelo aquí). Utilizando el método de descenso, uno puede mostrar que el rango de $E$ es cero, y la torsión de los subgrupos es de orden $2$. Por lo tanto, sólo hay dos puntos racionales en $E$, es decir,$[0,1,0]$$[1/108,1/648,1]$. Estos corresponden a los dos únicos puntos racionales de la curva de $C$, es decir, $$(0,1) \quad \text{ and } \quad (-1/3,-1).$$ En particular, la única racional de los números de $x\in\mathbb{Q}$ tal que $54x^3+1$ es también un cubo se $x=0$$x=-1/3$.