Porque estoy haciendo algunos problemas que consideran todos los colectores mientras que la situación es realmente clara cuando se consideran sólo colectores lisos. Por lo tanto, mi pregunta es si siempre podemos nombrar un colector topológico con un colector liso de tal manera que sean homotópicamente equivalentes. Cuando M es compacta, creo que podemos incrustarla en un espacio euclidiano y luego tal vez podamos isotopiarla ligeramente para que se deforme en una variedad lisa.
Respuesta
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Por sorprendente que sea, esto no es cierto.
Por el trabajo de Freedman, una 4manifold topológica compacta y simplemente conectada está determinada hasta el homeomorfismo por la forma de intersección en la segunda cohomología junto con una cierta $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ invariante. Además, todas las formas de intersección unimodular surgen de esta manera.
Por trabajo de Donaldson, las formas de intersección que surgen de las variedades lisas son bastante especiales. Dado que la forma de intersección es un invariante de la homotopía, se deduce que existen 4 manifolds topológicos que no son suavizables, incluso hasta la homotopía.
Puede encontrar más detalles en artículo de wikipedia .
