1) Si $\mathcal{A}$ consiste en el espacio de Sierpinski y $\mathcal{B}$ consiste en todos los espacios topológicos finitos, entonces el casco coreflectivo concreto de $\mathcal{A}$ consiste en todos los espacios finitamente generados (es decir, espacios en los que $x \in clA \iff x \in cl\{a\}$ para algunos $a \in A$ ). Esto puede verse mostrando que el sumidero total de los espacios de Sierpinski es final en Top.
Así que dejemos $X$ sea un espacio topológico (finitamente generado) y tome el sumidero total de los espacios de Sierpinski (las funciones de este sumidero se denominan $f_{i}$ ). Sea $g: X \rightarrow Y$ sea una función, de modo que para cada $f_{i}: Sierpinski \rightarrow X$ , $g \circ f_{i}$ es continua. ¿Por qué g es continuo?
2) Si $\mathcal{A}$ consiste en una secuencia convergente $A= \{0\} \cup \{\frac{1}{n} \vert n \in \mathbb{N} \} $ o si $\mathcal{B}$ consiste en el subconjunto completo de todos los espacios topológicos metrizables, entonces en ambos casos el casco concretamente coreflectivo consiste en todos los espacios secuenciales. De nuevo esto se ve mostrando que el sumidero total de $A = \{0\} \cup \{\frac{1}{n} \vert n \in \mathbb{N}\}$ es definitivo en Top.
Así que dejemos $X$ sea un espacio topológico (secuencial) y tome el sumidero total de A (las funciones de este sumidero se denominan $f_{i}$ ). Sea $g: X \rightarrow Y$ sea una función, de modo que para cada $f_{i}: A \rightarrow X$ , $g \circ f_{i}$ es continua. ¿Por qué g es continuo?
3) Si los espacios de Sierpinski pertenecen a $\mathcal{A}$ , entonces la carcasa concretamente reflectante de $\mathcal{A}$ en Top es Top. Para demostrar esto hay que mostrar que para un espacio topológico arbitrario, la fuente que consiste en todas las funciones indicadoras definidas en conjuntos abiertos es inicial. De nuevo, estoy atascado probando este argumento.
Como siempre, se agradece cualquier ayuda.
