El número de la solución es el doble $(x,y)$

Question

Problema: Cuente el número de $2 \times 2$ matrices $A$ con $A^TA=-I$ en $Z_p$ para $p>2$ .

Respuesta: si $p$ es un primo impar, el número de tales matrices $A$ es el doble del número de soluciones $(x,y)$ a la congruencia $x^2+y^2 \equiv -1 \pmod p$ .

¿Cuál es la razón de "dos veces"?

Answer 1

$$A^TA=-I$$

equivale a $A^{-1}=-A^T$ y por lo tanto implica $AA^T=-I$ .

Si $A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$ Entonces $$A^TA=-I \Leftrightarrow AA^T=-I \mbox{ and }A^TA=-I \\ \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&c\\ b&d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix} \mbox{ and } \begin{bmatrix} a&c \\ b&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \\ a^2+b^2=-1 \\ c^2+d^2=-1 \\ ac+bd=0 \\ a^2+c^2=-1 \\ b^2+d^2=-1 \\ ab+cd=0 $$

Ahora $$a^2+b^2=-1=a^2+c^2 \Rightarrow b^2=c^2 \Rightarrow b= \pm c\\ a^2+b^2=-1=b^2+d^2 \Rightarrow a^2=d^2 \Rightarrow a= \pm d \\ $$

Utilizando $b =\pm c$ y $a=\pm d$ en $$ac+bd=0 \\ ab+cd=0$$

se consigue que o bien $a=b=c=d=0$ o los signos en $b =\pm c$ y $a=\pm d$ son opuestos.

Por lo tanto, si se combina todo lo que tenemos, el sistema anterior se reduce a $$a^2+b^2=-1$$ y, o bien $c=-b, d=a$ o $c=b, d=-a$ .

Answer 2

Dejemos que \begin{eqnarray*} A= \begin{bmatrix} a &b \\c &d \\ \end{bmatrix} . \N - fin {eqnarray*} Entonces requerimos \begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} a &c \\b &d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a &b \\c &d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 &0 \\0 &-1 \\ \end{bmatrix} . \N - Fin. Así que \begin{eqnarray*} a^2+c^2 \equiv -1 \pmod{p} \\ ab+cd \equiv 0 \pmod{p} \\ b^2+d^2 \equiv -1 \pmod{p} \\ \end{eqnarray*} Después de un poco de álgebra con estos \begin{eqnarray*} a^2b^2=b^2(-1-c^2)=c^2d^2 \\ c^2(\underbrace{d^2+b^2}_{-1})=-b^2 \end{eqnarray*} Así que $b=c$ o $b=p-c$ . Dando dos soluciones para cada par $(a,c)$ .