Encontrar el cambio de temperatura en $t = 0$

Question

La temperatura de la habitación viene dada por $$T(x,y,z) = \frac12(4x^2 +y^2 + z^2)$$ En ese momento $t = 0$ una mosca vuela por la punta $(\sqrt{3},1,2)$ a lo largo de la curva de intersección entre las dos superficies $$ z = x^2 - y^2$$ $$z^2 = x^2 + y^2$$ Qué cambio de temperatura $$\frac{dT}{dt}_{t=0} $$ hace la experiencia de la mosca en $t = 0$ si su velocidad vertical en ese momento es $5$ ?

Llamar a las superficies $f$ y $g$ Voy a encontrar el vector tangente de la curva de intersección: $\nabla f \times \nabla g = \begin{bmatrix}-10 \\ -6\sqrt{3} \\ 8\sqrt{3} \end{bmatrix}$ entonces lo escalo para que coincida con la velocidad de la mosca $(z'(0) = 5)$ y obtener $\begin{bmatrix} -\frac{25}{4\sqrt{3}} \\ -\frac{15}{4} \\ 5 \end{bmatrix}$ y finalmente encontrar la tasa de cambio que viene dada por $\nabla T \cdot \vec{v} $ donde $\vec{v}$ es el vector de velocidad a escala. Esto me da la respuesta $-\frac{75}{4}$ que parece estar equivocado.

Answer 1

Las dos superficies son superficies planas de $f(x,y,z)=x^2-y^2-z$ y $g(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ respectivamente. $\nabla f\times\nabla g = (4yz+2y,4xz-2x,8xy)$ que es igual a $(10,6\sqrt3,8\sqrt3)$ en el punto dado. Parece que has olvidado los signos menos al construir $f$ y $g$ y calculamos los gradientes de $x^2-y^2+z$ y $x^2+y^2+z^2$ en su lugar.