Cada conjunto compacto en $\mathbb{Q}$ tiene una prueba interior vacía

Question

Considere $\mathbb Q$ con la topología del subespacio.

Sigo leyendo sitio web de planet math que todo subconjunto compacto en este espacio tiene el interior vacío y luego traté de demostrarlo. Por favor, ¿podría alguien decirme si mi prueba es correcta?

Mi prueba:

Dejemos que $K$ ser compacto en $\mathbb Q$ con la topología del subespacio de $\mathbb R$ . Por contradicción supongamos que contenía un conjunto abierto $O\subseteq K$ . Por la definición de la topología del subespacio existe un conjunto abierto $V\subseteq \mathbb R$ tal que $O = V \cap \mathbb Q$ .

Ahora dejemos que $q \in O \subseteq V$ . Desde $V$ es abierta existe una bola abierta $B$ tal que $q \in B \subseteq V$ . Que esta bola sea lo suficientemente pequeña para que también esté contenida en $[m,M]$ donde $M=\max K$ y $m = \min K$ . Tenga en cuenta que entonces $B \cap \mathbb Q\subseteq K$

El balón $B$ contiene un irratinal $r$ . Como los irracionales son densos en los reales podemos encontrar una secuencia de racionales en esta bola que converge a $r$ . Esta secuencia está contenida en $K$ . Por lo tanto, $r$ es un punto límite de $K$ . Desde $K$ está cerrado, $r \in K$ una contradicción.

Answer 1

Su prueba hace trabajo, pero debería mencionar que si $K \subset \Bbb{Q}$ es compacto, esto implica también que $K$ es compacto como subconjunto de $\Bbb{R}$ (¿por qué?).

Puedes simplificar tu prueba observando que lo anterior implica que $K$ está cerrado como subconjunto de $\Bbb{R}$ . Pero si $x$ está en el interior (en relación con $\Bbb{Q}$ ) de $K$ entonces $\Bbb{Q} \cap (x - \varepsilon , x+ \varepsilon) \subset K$ para algunos $\varepsilon > 0$ para que $K$ se acumula en cualquier $y \in (x-\varepsilon, x+\varepsilon)\cap \Bbb{R}\setminus\Bbb{Q}$ para que no se pueda cerrar.