Factorización de polinomios con r indeterminados

Question

Si F es un campo, el anillo de polinomios sobre F en x indeterminado es un dominio euclidiano. Así, si p(x), q(x) son dos polinomios no nulos sobre F, entonces existen polinomios s(x), r(x) en F[x] tales que p(x)= q(x)s(x)+r(x), en los que r=0 o el grado de r, deg(r)< deg(q).

¿Es esta propiedad verdadera en el anillo de polinomios sobre F en r indeterminados, es decir, es verdadera en F[x1, x2, ..., xr], aunque no sea un PID?

¿Puede ayudarme, por favor? Gracias de antemano.

Answer 1

Existe un algoritmo de división extendido que permite dividir un polinomio $f$ en una secuencia $F=(f_1,\ldots,f_s)$ de polinomios tales que $$f= h_1f_1+\cdots+h_sf_s +r$$ donde $h_1,\ldots,h_s$ y $r$ (resto) son polinomios y $r=0$ o el término principal de $r$ no es divisible por ninguno de los términos principales de $f_1.\ldots,f_s$ . Obsérvese que para definir el término principal se necesita un ordenamiento de los términos en los monomios del anillo de polinomios. Este ordenamiento debe ser global de manera que el algoritmo termine. Echa un vistazo al álgebra conmutativa computacional y a las bases de Gröbner.