Al calcular la energía propia de una cáscara conductora integramos $Vdq$ donde $V=\frac{q}{4\epsilon r}$ pero cuando el $dq$ La carga que se compra cerca de la cáscara cambia la distribución de la carga en la esfera y por lo tanto hace el trabajo en la carga ya presente en la esfera..... además debido a la distribución cambiante de la carga, la expresión del potencial cambia también..... Estoy de acuerdo en que los efectos anteriores son insignificantes para una pequeña carga dq pero ¿cómo concluimos que su contribución sigue siendo insignificante después de sumar los efectos para todos los $dq$ 's (me refiero a la integración sobre todos los cargos).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos una cáscara conductora esférica con radio $r_0$ y cobrar $q$ . Veamos el trabajo mínimo que hay que hacer para llevar una carga infinitesimal $dq$ con energía cinética inicial $0$ .
Veamos el momento en que $dq$ está separada del centro de la cáscara por la distancia $r$ . La distribución de la carga en la cáscara puede ser representada por 2 cargas puntuales de las siguientes cantidades (de aquí ):
Uno como imagen del dq a la siguiente distancia dentro de la esfera, y el otro en el centro para equilibrar la carga total de la cáscara a $q$ : $$dq' = -dq\,\frac{r_0}{r},\ \ r_{dq'} = \frac{{r_0}^2}{r},\ \ q_{center} = q + dq\,\frac{r_0}{r}$$
Escribir la energía potencial en este estado: $$dU = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\left( \frac{-dq\,\frac{r_0}{r}\cdot dq}{(r-\frac{{r_0}^2}{r})} + \frac{-dq\,\frac{r_0}{r}\cdot (q+dq\,\frac{r_0}{r})}{\frac{{r_0}^2}{r}} + \frac{dq\cdot (q+dq\,\frac{r_0}{r})}{r} \right)$$
Entonces, si maximizamos esta energía con respecto a $r$ en la región $(r_0,\infty)$ encontramos la energía mínima necesaria para que este $dq$ para ir a unirse $q$ .
Primero, reescribe $dU$ para simplificar (asumiendo que los diferenciales de segundo grado son irrelevantes ( $dq^2$ )), $$dU = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0}\,\left( 0 + \frac{-q\,\frac{r_0}{r}}{(\frac{{r_0}^2}{r})} + \frac{q}{r} \right)$$ $$dU = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0}\,\left( -\frac{q}{r_0} + \frac{q}{r} \right)$$
Dado que se trata de una función monotónicamente decreciente de $r$ podemos decir que su valor máximo en la región especificada es cuando $r=r_0$ .
Se trata de un resultado contraintuitivo, ya que $$\lim_{r\to\infty} dU = -\frac{dq}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r_0}$$ y $$\lim_{r\to r_0^+} dU = 0$$
Dado que estos son los potenciales inicial y máximo de la trayectoria, el trabajo realizado debe ser $$dW = \left(\lim_{r\to r_0^+} dU\right) - \left(\lim_{r\to\infty} dU\right) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r_0}$$
Pero esto nos muestra lo siguiente: aunque nuestros cálculos fueran diferentes y no intuitivos, el resultado final es el mismo.
