En su ejemplo, el x -El eje es tangente a la curva, el y -El eje es lo que se llama normal a la curva, y la línea que describes que sale directamente de la página es lo que se llama binormal a la curva. La línea normal se encuentra en el mismo plano que la curva, mientras que la dirección binormal es el producto cruzado de las direcciones tangente y normal. Tanto la normal como la binormal a una curva son perpendiculares a la línea tangente como líneas, y eso motiva que ambas líneas se llamen perpendiculares a la curva.
Si →r:R→R3 el vector tangente unitario →T(t) se define como →r′(t)‖ . Tiene una longitud de una unidad y apunta en la misma dirección que la curva "se mueve".
\vec{T}(t) mismo cambia como t cambios. En su ejemplo, como t se mueve a través de 0 , \vec{T}(t) apunta hacia abajo-derecha, luego a la derecha, luego hacia arriba-derecha. De todos modos, eso significa que podemos considerar \frac{d}{dt}\vec{T}(t) que llamaré simplemente \vec{T}'(t) para abreviar. El vector normal unitario \vec{N}(t) se define como \frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|} . Es una unidad de longitud, y apunta en la dirección que \vec{T}(t) está cambiando, que es la dirección en la que la curva "se está doblando". En tu ejemplo, eso es en dirección hacia arriba.
A nivel local, \vec{T}(t) y \vec{N}(t) definen un plano que contiene la aproximación de Taylor de segundo grado de la curva. Este plano se llama plano osculante .
En \mathbb{R}^3 Hay 3 dimensiones. Localmente, \vec{T}(t) y \vec{N}(t) cuenta dos direcciones ortogonales. Una tercera dirección ortogonal puede escribirse como \vec{T}(t)\times\vec{N}(t) que llamamos vector binormal unitario \vec{B}(t) . Es automáticamente una unidad de longitud y ortogonal a \vec{T}(t) y \vec{N}(t) .
Por último, en su ejemplo, \vec{B}(t) es constante, apuntando siempre hacia arriba. Imagina una curva que aproveche al máximo todas 3 dimensiones y se retuerce más. \vec{B}(t) cambiaría como t cambios. De hecho, cuanto más se retuerce, más \vec{B}(t) cambiaría. Esto motiva que \|\frac{d}{dt}\vec{B}(t)\| se llama torsión de la curva, denotada como \tau(t) .
Eso es el cálculo de vectores de curvas espaciales en pocas palabras.