¿Hay alguna diferencia cuando decimos "perpendicular" o "tangente"?

Question

A menudo me encuentro confundiendo estas dos palabras.

Digamos que tengo un gráfico simple de $y = t^2$ y $x = t$ . Si una línea es tangente a la curva en el origen, sólo sería la línea y = 0. Si una línea es perpendicular a la curva (pensemos esto en $\mathbb{R}^3$ ahora), te saldría asumiendo que lo estás viendo encima del plano xy. ¿Es esto cierto o podemos decir realmente que el tangente ¿la línea es también y = 0?

Sé que en realidad es una pregunta muy sencilla, pero no he encontrado un buen lugar para distinguir las dos palabras. Es una de esas veces que se coge y se "sabe" de memoria cuando se ha terminado con el cálculo.

Answer 1

Hay una gran diferencia, de hecho estaría tentado de llamar a los dos conceptos opuestos. Dos líneas en el espacio euclidiano son perpendiculares si se cruzan en ángulos rectos. Esto se extiende a las curvas paramétricas llamándolas perpendiculares en un punto si sus líneas tangentes son perpendiculares en el punto de intersección. Nótese que una o ambas curvas paramétricas pueden ser una recta. Dos líneas en el espacio euclidiano son tangentes si son la misma línea (y por lo tanto las líneas tangentes son nunca perpendicular). Esto se extiende a las curvas paramétricas diciendo que dos curvas paramétricas son tangentes en un punto si sus líneas tangentes son las mismas en ese punto. De nuevo, una o ambas curvas pueden ser una recta.

Answer 2

En su ejemplo, el $x$ -El eje es tangente a la curva, el $y$ -El eje es lo que se llama normal a la curva, y la línea que describes que sale directamente de la página es lo que se llama binormal a la curva. La línea normal se encuentra en el mismo plano que la curva, mientras que la dirección binormal es el producto cruzado de las direcciones tangente y normal. Tanto la normal como la binormal a una curva son perpendiculares a la línea tangente como líneas, y eso motiva que ambas líneas se llamen perpendiculares a la curva.

Si $\vec{r}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ el vector tangente unitario $\vec{T}(t)$ se define como $\frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|}$ . Tiene una longitud de una unidad y apunta en la misma dirección que la curva "se mueve".

$\vec{T}(t)$ mismo cambia como $t$ cambios. En su ejemplo, como $t$ se mueve a través de $0$ , $\vec{T}(t)$ apunta hacia abajo-derecha, luego a la derecha, luego hacia arriba-derecha. De todos modos, eso significa que podemos considerar $\frac{d}{dt}\vec{T}(t)$ que llamaré simplemente $\vec{T}'(t)$ para abreviar. El vector normal unitario $\vec{N}(t)$ se define como $\frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|}$ . Es una unidad de longitud, y apunta en la dirección que $\vec{T}(t)$ está cambiando, que es la dirección en la que la curva "se está doblando". En tu ejemplo, eso es en dirección hacia arriba.

A nivel local, $\vec{T}(t)$ y $\vec{N}(t)$ definen un plano que contiene la aproximación de Taylor de segundo grado de la curva. Este plano se llama plano osculante .

En $\mathbb{R}^3$ Hay $3$ dimensiones. Localmente, $\vec{T}(t)$ y $\vec{N}(t)$ cuenta dos direcciones ortogonales. Una tercera dirección ortogonal puede escribirse como $\vec{T}(t)\times\vec{N}(t)$ que llamamos vector binormal unitario $\vec{B}(t)$ . Es automáticamente una unidad de longitud y ortogonal a $\vec{T}(t)$ y $\vec{N}(t)$ .

Por último, en su ejemplo, $\vec{B}(t)$ es constante, apuntando siempre hacia arriba. Imagina una curva que aproveche al máximo todas $3$ dimensiones y se retuerce más. $\vec{B}(t)$ cambiaría como $t$ cambios. De hecho, cuanto más se retuerce, más $\vec{B}(t)$ cambiaría. Esto motiva que $\|\frac{d}{dt}\vec{B}(t)\|$ se llama torsión de la curva, denotada como $\tau(t)$ .

Eso es el cálculo de vectores de curvas espaciales en pocas palabras.