¿Cuál es el supremum de $[0,\sqrt{3}] \bigcap \mathbb{Q}$ ?

Question

Creo que el supremum es $\sqrt{3}$ y el infimo es $0$ . ¿verdad? ¿el máximo no es el supremum y el mínimo es el ínfimo?

Answer 1

Seguramente $0$ es el infimo. Es evidente que $\sqrt 3$ es un límite superior para el conjunto (en adelante denotaremos $A:=[0,\sqrt 3]\cap\Bbb Q)$ . Para cualquier $\varepsilon>0$ tenemos $A\cap (\sqrt 3-\varepsilon,\sqrt 3]\neq\emptyset$ desde $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ . Por lo tanto, $\sqrt 3$ es el supremum de $A$ .

También, $0$ es efectivamente el mínimo del conjunto ya que $0\in A$ Sin embargo, $\sqrt 3\not\in A$ así que $A$ no tiene un máximo.