La ecuación de la tangente común a la elipse
\begin{equation*} x^2 +2y^2=1 \end{equation*}
y el círculo
\begin{equation*} x^2 +y^2=\frac{2}{3} \end{equation*} ¿es?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Farkhod Gaziev
Puntos
6
Cualquier tangente al círculo en $(\sqrt{2/3}\cos t,\sqrt{2/3}\sin t)$
$x(\sqrt{2/3}\cos t)+y(\sqrt{2/3}\sin t)=2/3$
$\iff x(\cos t)+y(\sin t)=\sqrt{2/3}\ \ \ \ (1)$
Cualquier tangente en la elipse en $(\cos u,\sqrt{1/2}\sin u)$
$x(\cos u)/2+y(\sqrt{1/2}\sin u)=1/2 \ \ \ \ (2)$
Necesitamos $(1),(2)$ para ser la misma línea recta
$$\implies\dfrac{\cos t}{\cos u}=\dfrac{\sin t}{\sqrt{1/2}\sin u}=\dfrac{\sqrt{2/3}}{1/2}$$
Encuentre $\cos t,\sin t$ y eliminarlos utilizando $\cos^2+\sin^2t=1$ para encontrar $\cos u,\sin u$
Max
Puntos
16
Sugerencia: Utilice el botón propiedad del círculo auxiliar de las elipses: Una perpendicular a una tangente desde un punto focal se encontrará con la tangente en la circunferencia auxiliar.
El círculo auxiliar de la elipse $x^2 + 2y^2 = 1$ es el círculo $x^2 + y^2 = 1$ . Se obtienen tres segmentos de recta perpendiculares a la tangente, uno desde cada foco de la elipse y otro desde el centro. Utilizando las longitudes conocidas y la ley de los senos, puedes calcular la pendiente y la intersección de la recta tangente.
