Prueba $2^{n+1} < n^2 + 2$ para $n\geq 0$ por inducción

Question

Estoy tratando de demostrar que $2^{n+1} < n^2 + 2$ para $n \ge 0$ mediante el uso de la inducción matemática, pero llego al paso inductivo y me pierdo. No sé cómo relacionar mi suposición con la prueba.

Answer 1

La pregunta fue resuelta en los comentarios. Pongo la respuesta de CW para que no se quede sin respuesta.

Puedes comprobar que la desigualdad de la pregunta es falsa incluso para números muy pequeños: $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline n & 2^{n+1} & n^2+2 \\\hline 1 & 4 & 3 \\\hline 2 & 8 & 6 \\\hline 3 &16 &11 \\\hline 4 &32 &18 \\\hline \end{array} $$

Sin embargo, si le das la vuelta al signo de la desigualdad, deberías poder demostrar que es cierta por inducción. Echa un vistazo a las pruebas de desigualdades muy similares dadas en las respuestas aquí: Prueba de que $n^2 < 2^n$

Answer 2

Intenta escribir la desigualdad al revés: $2^{n+1}>n^2+2$ . Está claro que esto no es cierto para $n=0$ pero intenta demostrar que es cierto para $n\geq 1$ . Para $n=1$ tenemos que $2^{n+1}=2^{2}=4>3=1^2+2=n^2+2$ . Ahora demuestre que la desigualdad se mantiene para cuando $n=2$ Tenemos $2^{3}=8>6=2^2+2$ y esto es cierto. Ahora intente una prueba por inducción. A continuación te ofrezco un breve esquema.

Reclamación: Para todos $n\geq 1, 2^{n+1}>n^2+2$ . Dejemos que esta afirmación sea denotada por $S(n)$ .

Prueba. Comprobamos los casos base para $n=1,2$ . Ahora, para algunos fijos $k\geq2$ , supongamos que $$ S(k) : 2^{k+1}>k^2+2 $$ se mantiene. Ahora debemos utilizar esta suposición (llamada hipótesis inductiva) para demostrar que $$ S(k+1) : 2^{k+2}>(k+1)^2+2 $$ es lo siguiente. Empezando por el lado izquierdo de $S(k+1)$ , \begin{align} 2^{k+2} &= 2(2^{k+1})\tag{exponent law}\\[0.5em] &> 2(k^2+2)\tag{by $S(k)$, the ind. hyp.}\\[0.5em] &= 2k^2+4\tag{simplify}\\[0.5em] &> k^2+2k+3\tag{since $k\geq 2$}\\[0.5em] &= (k^2+2k+1)+2\tag{rearrange}\\[0.5em] &= (k+1)^2+2,\tag{factor} \end{align} terminamos en el lado derecho de $S(k+1)$ completando el paso inductivo.

Por inducción matemática, la afirmación $S(n)$ es cierto para todos los $n\geq 1$ .

¿Todo esto tiene sentido? Si algún paso no ha quedado claro, no dudes en dejar un comentario.