¿Un paso atrás con Forward Euler?

Question

Digamos que quiero utilizar el esquema Forward Euler para resolver la ecuación del calor $$ \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ en el dominio $t \in (0, 1)$ , $x \in (0,1)$ pero en lugar de una condición inicial $u(x, 0)$ Tengo la condición final $u(x, t=1)$ . ¿Cómo será entonces el Euler hacia adelante? ¿Puedo simplemente dar un paso atrás de esta manera? $$ \frac{u_j^{n-1} - u_j^n}{\Delta t} = - \left( \frac{u_{j+1}^{n} -2u_j^{n} + u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2} \right) $$ donde $n$ son los pasos de tiempo y $j$ son los $x$ -pasos. La razón por la que tengo dudas sobre esta solución es que cuando trato de ver el error de truncamiento para este esquema mediante la expansión de Taylor del LHS en $t_n$ y RHS en $x_j$ Termino con la expresión $$ -\frac{\partial u}{\partial t} + O(\Delta t) = -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + O(\Delta x) $$ que no me permite sustituir la solución exacta $\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ya que las expresiones tienen signos opuestos. No veo que mis expansiones de Taylor tengan ningún error, por lo que podría parecer que todo el método está mal?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Observe que la ecuación que está resolviendo no es exactamente la ecuación del calor, ya que la ecuación del calor es $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \varkappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \qquad \varkappa > 0, $$ pero si estás resolviendo tu problema hacia atrás en el tiempo, el problema se plantea bien sólo cuando $\varkappa < 0$ y hay que tener cuidado al aproximar la derivada temporal con una diferencia finita. Cualquiera que sea la dirección del tiempo, la derivada del tiempo se aproxima como $$ \frac{u^{n} - u^{n-1}}{\Delta t} $$ suponiendo que $\Delta t > 0$ y como $$ \frac{u^{n-1} - u^{n}}{\Delta t} $$ si $\Delta t < 0$ . Eso es una cuestión de convención, no más. Ya que ha retrocedido en el tiempo el $\Delta t = t_{n-1} - t_n < 0$ . Así, $$ u^{n-1} = u(t_{n-1}) = u(t_{n} + \Delta t) = u(t_n) + \Delta t u_t(t_n) + O(\Delta t^2), $$ por lo que tendrías $$ \frac{\partial u}{\partial t} + O(\Delta t) $$ en el lado izquierdo.