Encuentra el corte de la esfera y el plano dado

Question

Estoy tratando de resolver una integral de mi tarea, sin embargo, para hacerlo, necesito encontrar el corte del círculo de la siguiente esfera y el plano:

$x^2 +y^2 +z^2 = 1 $

$x + y + z = 1 $

Encontré los puntos de corte con el eje x,y,z, pero no conseguí encontrar el radio o el centro del círculo cortado.

Agradecería cualquier tipo de ayuda, gracias.

Answer 1

Paso 1: Desde el avión, $\;z=1-(x+y)\;$ ;

Paso 2: Sustituye lo anterior en la esfera :

$$x^2+y^2+\left(1-(x+y)\right)^2=1\implies x^2+y^2-x-y+xy=0\;\;\color{red}{(*)}$$

Paso 3: Sabiendo que siempre obtener una circunferencia como intersección si no está vacía o un solo punto, tratamos de parametrizar el Paso 2 como una circunferencia, por ejemplo mediante la compleción del cuadrado:

$$\color{red}{(*)}\;\;\left(x+\frac{y-1}2\right)^2+\frac34y^2-\frac y2-\frac14=0\implies\left(x+\frac{y-1}2\right)^2+\frac34\left(y-\frac13\right)^2=\frac13\;\;\color{blue}{(**)}$$$$ {}$$

Paso 4: "Forzar" una parametrización del círculo aquí, mediante:

$$x':=\left(x+\frac{y-1}2\right)\;,\;\;y':=\frac{\sqrt3}2\left(y-\frac13\right)\implies\color{blue}{(**)}\;\;x'^2+y'^2=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2$$

o con parametrización polar:

$$\begin{cases} x+\cfrac{y-1}2=\cfrac1{\sqrt3}\cos\theta\implies x+\cfrac12y=\cfrac1{\sqrt3}\cos\theta+\cfrac12\\{}\\ \cfrac{\sqrt3}2\left(y-\cfrac13\right)=\cfrac1{\sqrt3}\sin\theta\implies\cfrac12y=\cfrac13\sin\theta+\cfrac16\end{cases}$$

y restando obtenemos

$$\begin{cases}x=\cfrac13\left(\sqrt3\,\cos\theta-\sin\theta\right)+\cfrac13\\{}\\ y=\cfrac23\sin\theta+\cfrac13\end{cases}$$

y finalmente la última coordenada es

$$z=1-x-y=1-\cfrac13\left(\sqrt3\,\cos\theta-\sin\theta\right)-\cfrac13-\cfrac23\sin\theta-\cfrac13=$$

$$=\frac13-\frac13\left(\sqrt3\,\cos\theta+\sin\theta\right)$$

y nuestro círculo es

$$r(\theta)=\left(\,\cfrac13\left(\sqrt3\,\cos\theta-\sin\theta\right)+\cfrac13\,,\,\,\cfrac23\sin\theta+\cfrac13\,,\,\,\frac13-\frac13\left(\sqrt3\,\cos\theta+\sin\theta\right)\,\right)$$

Por favor, compruebe que lo anterior es un círculo con centro $\;\left(\cfrac13,\,\cfrac13,\,\cfrac13\right)\;$ (este debería haberse esperado . ¿Por qué?), y el radio $\;\sqrt\frac23\;$