Coordenadas lagrangianas a eulerianas

Question

Tengo un fluido 1D y en un momento t0 conozco la velocidad de todas sus partículas. Por tanto, puedo conocer la posición futura de cada partícula. Dada una partícula en la posición x0 en el momento t0, puedo conocer su posición en cualquier momento futuro. Si no me equivoco esto se llama coordenadas lagrangianas .

Mi problema es que con esta información quiero saber la velocidad del fluido en cualquier momento y en cualquier posición. No quiero estar siguiendo a las partículas sino que quiero poder ver lo que ocurre en una posición fija. Creo que esto se llama coordenadas eulerianas.

¿Cómo hago este cambio de variables?

Answer 1

Para obtener la velocidad euleriana hay que conocer primero la descripción lagrangiana completa. La descripción lagrangiana significa que se conoce la trayectoria $\vec X$ de las partículas, $$\vec X(\vec x_0, t),$$ a partir de la cual se puede derivar la velocidad de las partículas: $$\vec V(\vec x_0, t)=\frac{d}{dt}\vec X(\vec x_0, t).$$ Para obtener la velocidad euleriana en una posición determinada $\vec x$ , lo pones igual a $\vec X$ y resolver para $x_0$ . Usted obtendrá $x_0$ en función de $x$ y $t$ . $$\vec x=\vec X(\vec x_0, t)\rightarrow\vec x_0=\vec x_0(x, t)$$ Lo que estás haciendo aquí es básicamente plantear la pregunta "¿cuál era el punto de partida de la partícula que está actualmente en $x$ ? '. Esto es útil porque ahora puedes conectar $x_0$ en $\vec V$ . Ahora ya has terminado porque sabes la velocidad de la partícula que está actualmente en $x$ para que pueda establecer $$\vec u(\vec x,t)=\vec V(\vec x_0,t)$$