¿Cuál es la probabilidad de que el producto de $20$ números aleatorios entre el $1$ $2$ es mayor que $10000$?

Question

Veinte aleatoria de números reales $a_1,a_2,\dots,a_{20}$ se eligen de modo que $1\le a_i \le 2$. ¿Cuál es la probabilidad de que su producto es mayor que $10000$?

(Por azar, me refiero a cada número real en el intervalo de $[1,2]$ tiene la misma probabilidad de ser elegido. Todos los veinte números elegidos son independientes el uno del otro.)

Answer 1

Esto es más pensando en voz alta que la respuesta real.

Un papel que se llama Producto de n independiente uniforme de variables aleatorias por Carl P. Dettmann, Orestis Georgiou parece ser relevante. Su céntrica resultado es el siguiente teorema:

En nuestro caso $a=1$, $b=2$, $n=20$.

Después de un montón de engorroso, pero factible cálculos es posible obtener la probabilidad de la pregunta usando el PDF del Teorema anterior 1.

Answer 2

Heres una aproximación con una distribución normal.

$${Let\quad Y_i=\ln( X_i) \quad where \quad X_i \thicksim U(1,2) \quad i=1,2, \ldots,20 } \qquad {then \quad f_{Y_i}(y_i)=e^{y_i}\quad 0\leq{y_i}\leq \ln(2)} $$

$$And \space then\quad {\mu =\int_0^{\ln(2)} ye^y dy =0.386294}\qquad{E[y^2]=\int_0^{\ln(2)} y^2 e^y dy =0.188317 }\qquad{\sigma=0.197722}$$ $$Now,\space from\space probability\space we\space know \space that:\qquad {\lim_{n\to \infty} Pr(Z_n= \dfrac{S_n-n\mu}{\sigma \sqrt n}\leq z )=\Phi (z)} $$ $$ You´re\space looking\space for \qquad {\prod_{i=1}^{n} X_i \geq C }\qquad$$$${Este espacio\significa\qquad S_n=\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)=\ln(\prod_{i=1}^{n} X_i) \geq \ln(C) }\qquad $$$${Applying\space the \space C.L.T\space theorem:}$$$$\qquad \qquad {P(S_n \geq \ln(C))=P(S_n -n \mu \geq \ln(C) - n \mu)=P(\dfrac{S_n-n\mu}{\sigma \sqrt n}\geq \dfrac{\ln(C)-n\mu}{\sigma \sqrt n})={1-P(\dfrac{S_n-n\mu}{\sigma \sqrt n}\leq \dfrac{\ln(C)-n\mu}{\sigma \sqrt n})}\approx 1-\Phi( \dfrac{\ln(C)-n\mu}{\sigma \sqrt n})}$$ En el caso de n=20 (incómodas, ya que no es lo suficientemente grande como para normal aproximada) y C= 1000.

Por lo que la probabilidad (aproximada ) es 4.6596% (simulaciones de Montecarlo dice 4.51%).

Answer 3

El uso de la CT en los registros como sugieren por @kennytm podría dar una satisfactoria aproximación. (Por supuesto, la CLT no se aplica directamente a los productos.)

Mientras estamos discutiendo aproximaciones, una simulación dio aproximadamente 0.045 como la respuesta. Lo repitió varias veces para comprobar computacional estabilidad. Una carrera que se muestra a continuación. (Cada fila de la matriz tiene 20 observaciones de la UNIF(1, 2); la penúltima declaración de la toma de los productos de las filas; la última declaración de las estimaciones de la probabilidad deseada baed en un millones de ejecuciones del experimento.)

 m = 10^6; n = 20
 MAT = matrix(runif(m*n, 1, 2), nrow=m)
 y = apply(MAT, 1, prod)
 mean(y > 10000)
 ## 0.045291

Apéndice: Un histograma de las sumas de los registros de 20 obs es encajan muy bien por una curva de densidad normal. Esto parece para dar credibilidad al enfoque de la utilización de la CT en los registros.