¿Bajo qué condiciones es finito el ideal generado por un divisor cero?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo infinito con unidad. Supongamos que $R$ tiene cero divisores $r,s \in R$ , de tal manera que $rs = 0$ . Entonces podemos considerar el ideal $(r)$ generado por $r$ . Ciertamente

$$\{ 0, r, r + r, \ldots, r + r + \cdots + r \} \subseteq (r)$$

donde el último elemento es $(s - 1)r$ . Naturalmente $(r)$ puede contener muchos otros elementos, pero esto me hace pensar: ¿en qué condiciones podría el $(r)$ en este ejemplo sea de orden finito?

Gracias,

z.

Answer 1

Considere el anillo $R = (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[X]$ . Entonces $2 \cdot 2 = 4 = 0_R$ Así que $2$ es un divisor cero, y sin embargo $$(2) \supseteq \{ 2, 2X, 2X^2, 2X^3, 2X^4, \dots \}$$ así que $(2)$ es infinito.

Answer 2

Dejemos que $r \in R$ entonces tenemos un mapa natural $\phi: R \rightarrow (r)$ dado por $\phi(s)=rs$ . Se trata de un homomorfismo de $R$ -módulos, en particular $R/\ker \phi \cong (r)$ como $R$ -módulos. El $\ker\phi$ es frecuentemente conocido como el aniquilador de $r$ o incluso como el cociente ideal $(0:\{r\})$ . En particular $(r)$ es finito si y sólo si el índice de $\mathrm{Ann}_R(r)$ es finito.

Answer 3

Dejemos que $R$ sea una suma directa de infinitas copias de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.$ Alternativamente $R= \oplus~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ de manera que la suma directa esté indexada por $\mathbb{Z}$ . Obviamente $R$ es un anillo conmutativo infinito.

Ahora dejemos que $r = (2,2,\cdots,2,\cdots),$ es decir, el elemento de $R$ es decir $2 (mod 6)$ en cada coordenada. El ideal generado por $r$ sólo contiene $3$ elementos, y por lo tanto es finito.