(Música) Lista de todos los posibles "tipos de conjunto" de 12 notas musicales

Question

He investigado para tratar de averiguar cuáles son todos los posibles "tipos" de combinaciones de conjuntos de notas que hay y cómo iría enumerándolos si fuera posible. Resulta que esto es más difícil de lo que pensaba. Las 12 notas son:

$$1, 2^{\flat}, 2, 3^{\flat}, 3, 4, 4^{\sharp}/5^{\flat}, 5, 6^{\flat}, 6, 7^{\flat}, 7$$

Un tipo de conjunto sería algo así: $$1,3,5,7 .$$

El caso es que ese conjunto tiene posibilidades de inversión como $3,1,5,7$ y no quiero contar con ninguno de ellos como parte de la lista. Tampoco se repiten las notas, por ejemplo, $1,1,3,5$ o $1,3^{\flat},5,3^{\flat}$ .

He pensado en el caso de inversión de $3,1,5,7$ y puede convertir ese mismo conjunto en $1,6^{\flat},3^{\flat},5$ , que en realidad son las mismas notas (que yo también intento evitar). Pero lo que podría ser útil de esto es usar $1$ como referencia base y, en su lugar, intente utilizar cada intervalo en orden (de menor a mayor) para cada conjunto de la lista, por ejemplo. He aquí algunos ejemplos: $$1,2^{\flat},2,3, \qquad 1,2^{\flat},3,4, \qquad 1,2,3,4, \qquad 1,4,5,6^{\flat} .$$

Podría usar $1,3^{\flat},5,6^{\flat}$ pero entonces tendría que no enumerar $1,3,5,7$ en la lista, porque son del mismo "tipo de conjunto". Así que al final es un poco difícil encontrar qué conjuntos de notas están ya ahí y cuáles no, lo que me hace pensar que me falta alguna condición. ¿O tal vez hay una manera más fácil de ver todo esto que no he pensado todavía?

Así que la pregunta es:

¿Cómo puedo enumerar todos los tipos de notas establecidas sin repetir una sin querer?

(Edición: Se ha añadido la última pregunta para aclarar las cosas)

Answer 1

Esto es realmente un comentario extendido, ya que da una forma manualmente práctica de calcular el número de "tipos de conjuntos" utilizando potentes herramientas combinatorias, en lugar de una forma de lista de los tipos de conjuntos. Véase mi respuesta posterior que

1. describe un algoritmo para hacer lo primero y
2. aplica ese algoritmo para dar la respuesta de la correspondiente $3$ -problema de la nota, dejando el más involucrado pero procedimentalmente similar $4$ -nota problema.

También podemos pensar en las elecciones de conjuntos de $4$ notas fuera de la $12$ como el conjunto $S$ de $12$ -cadenas de cuentas que contienen $4$ cuentas negras ( $\blacksquare$ ) y $8$ cuentas blancas ( $\square$ ), donde las cuentas negras marcan las notas elegidas. Así, por ejemplo, el conjunto dado $\{1, 3, 5, 7\}$ de billetes (el $0$ th, $4$ rd, $6$ y $11$ notas) corresponde a la cadena $$\blacksquare\square\square\square\blacksquare\square\square\blacksquare\square\square\square\blacksquare .$$ (Hay ${12 \choose 4} = \frac{12!}{4! 8!} = 495$ tales conjuntos).

Ahora, queremos ver las notas como si estuvieran dispuestas en un círculo y contar dos conjuntos de notas como equivalentes si uno puede ser girado para producir el otro. De forma equivalente, declaramos dos cadenas de cuentas en $S$ para ser equivalentes lo mismo si uno puede ser permutado cíclicamente en el otro, por lo que contamos como equivalentes $$\blacksquare\square\square\square\blacksquare\square\square\blacksquare\square\square\square\blacksquare, \quad \square\square\square\blacksquare\square\square\blacksquare\square\square\square\blacksquare\blacksquare, \quad\square\square\blacksquare\square\square\blacksquare\square\square\square\blacksquare\blacksquare\square, \ldots$$ (imaginemos que atamos los dos extremos de la cuerda, de modo que obtenemos un collar de cuentas).

Dicho de otro modo, el grupo cíclico $C_{12}$ actos en el plató $S$ de cadenas de cuentas por la rotación anterior, y hemos declarado que dos cadenas son equivalentes si están en la misma órbita de esa acción. Entonces, estamos preguntando de forma equivalente cuántas órbitas tiene esta acción, por lo que podemos aplicar la versión general de la Fórmula de enumeración de Pólya :

Declaramos las cuentas negras $\blacksquare$ tener peso $1$ y cuentas blancas $\square$ tener peso $0$ dando la función generadora $f(t) = 1 + t$ codificando los colores y pesos; así, nos interesa contar los collares de peso total $4$ . El índice del ciclo para $C_{12}$ codifica los ciclos de cada tamaño de las permutaciones de los elementos y es $$Z(a_1, a_2, \ldots, a_{12}) = \frac{1}{12} \sum_{d \mid 12} \phi(d) a_d^{12 / d} = \frac{1}{12}(a_1^{12} + a_2^6 + 2 a_3^4 + 2 a_4^3 + 2 a_6^2 + 4 a_{12}) .$$ Aquí, $\phi$ denota Función totiente de Euler .

Ahora, la Fórmula de Enumeración da que la función generadora $F(t) = \sum_w n_w t^w$ para los números $n_w$ de collares de peso $w$ (es decir, con $w$ cuentas negras) es \begin{align} F(t) = Z(f(t), f(t^2), \ldots, f(t^{12})) &= \frac{1}{12} \sum_{d \mid 12} \phi(d) (1 + t^d)^{12 / d} \\ &= \frac{1}{12}[(1 + t)^{12} + (1 + t^2)^6 + 2 (1 + t^3)^4 \\ &\qquad\qquad + 2 (1 + t^4)^3 + 2 (1 + t^6)^2 + 4 (1 + t^{12})] \\ &= 1 + t + 6 t^2 + 19 t^3 + \color{#df0000}{43} t^4 + 66 t^5 + 80 t^6 + \cdots \end{align} Por lo tanto, hay $\color{#df0000}{n_4 = 43}$ collares (conjuntos hasta la equivalencia) de tamaño $4$ que concuerda con el resultado de la respuesta de weee. Como subproducto, este cálculo también nos da los recuentos de conjuntos de notas de cada tamaño (de nuevo, hasta la equivalencia). Invirtiendo los colores de todas las cuentas de un collar, podemos ver que hay el mismo número de conjuntos de tamaño $k$ hasta la equivalencia como hay de tamaño $12 - k$ .

Si sólo nos preocupáramos por la informática $n_4$ podríamos ahorrarnos unos instantes al notar que la única $d$ que pueden contribuir a la $t^4$ término en $$F(t) = \frac{1}{12} \sum_{d \mid 12} \phi(d) (1 + t^d)^{12 / d}$$ son los que tienen $d \mid 4$ y el $t^4$ plazo de $(1 + t^d)^{12 / d}$ es ${12 / d}\choose{4 / d}$ Así que \begin{align} n_4 &= [t^4] F(t)\\ &= [t^4] \frac{1}{12} \sum_{d \mid 12} \phi(d) (1 + t^d)^{12 / d} \\ &= \frac{1}{12} \sum_{d \mid 4} \phi(d) {{12 / d}\choose{4 / d}} \\ &= \frac{1}{12} \left[ \phi(1) \cdot {12 \choose 4} + \phi(2) \cdot {6 \choose 2} + \phi(4) \cdot {3 \choose 1}\right] \\ &= \frac{1}{12} \left[1 \cdot 495 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 3\right] \\ &= \color{#df0000}{43} . \end{align}

Answer 2

Empecemos por formular tu pregunta en un sentido matemático exacto. Primero numeramos nuestras notas por $0,\ldots,11$ . Para un determinado $k\in N:=\{1,\ldots,12\}$ buscamos (el número de) conjuntos $\{a_1,\ldots,a_k\}$ con $a_j\in N$ .

Además, para evitar sonidos idénticos (lo que ha llamado "tipos de conjuntos") imponemos que las secuencias se ordenen de forma ascendente (es decir $a_1<a_2<\ldots<a_k$ ).

La clasificación no es suficiente para evitar sonidos idénticos, ya que, por ejemplo, los conjuntos $\{0,1\}$ y $(0,11)$ son el mismo intervalo. Consideramos dos sonidos $\{a_1,\ldots,a_k\},\{b_1,\ldots,b_k\}$ como equivalentes si existe un número entero $m$ tal que $\{(a_1+m)_{12},\ldots,(a_k+m)_{12}\}=\{(b_1)_{12},\ldots,(b_k)_{12}\} $ .

Aquí $(x)_{12}$ denota un elemento de la clase de congruencia módulo $12$ ( véase ). Ahora podemos reformular el problema por:

Para un determinado $k\in N$ , encuentre el (número de las) clases de equivalencia de la relación $\{a_1,\ldots,a_k\}\sim\{b_1,\ldots,b_k\}\Leftrightarrow \exists m\in\mathbb{N}:\{(a_1+m)_{12},\ldots,(a_k+m)_{12}\}=\{(b_1)_{12},\ldots,(b_k)_{12}\} $

Esto parece poco práctico, pero al menos es algo con lo que se puede trabajar. Usemos esto para escribir todos los sonidos posibles para $k=2$ :

Como ha señalado correctamente, siempre podemos empezar con $0$ ya que siempre podemos sumar la diferencia de la nota más grave y $12$ a nuestro conjunto.

$\{0,1\},\{0,2\},\{0,3\},\{0,4\},\{0,5\},\{0,6\}$

Por ejemplo $\{0,7\}$ no se incluye, ya que $\{(0+5)_{12},(7+5)_{12}\}=\{(5)_{12},(0)_{12}\}$

Para las tríadas (es decir $k=3$ ) encontramos

$\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,4\},\{0,1,5\},\{0,1,6\},\{0,1,7\},\{0,1,8\},\{0,1,9\},\{0,1,10\}$

$\{0,2,4\},\{0,2,5\},\{0,2,6\},\{0,2,7\},\{0,2,8\},\{0,2,9\}$

$\{0,3,6\},\{0,3,7\},\{0,3,8\}$

$\{0,4,8\}$

Sé que esto no es realmente una receta sobre cómo escribir estos tipos, pero sin embargo podría ser utilizado para escribir un algoritmo de fuerza bruta para obtener todos los sonidos para dado $k$ .

Editar: Un simple python script que da todos los sonidos posibles sería:

from itertools import combinations

def check_equivalence(s1,s2):
    for i in range(1,12):
        if set(s1)==set([(s+i)%12 for s in s2]):
            return True
    return False

def sounds(k):
    s = list(combinations(range(0,12),k))
    sout = [s[0]]
    for so in s[1:]:
        already_there=False
        for sc in sout:
            if check_equivalence(so,sc):
                already_there=True
                continue
        if not already_there:
            sout.append(so)
    return sout

for i in range(1,13):
    s = sounds(i)
    print('number of sounds with ',i,' notes: ',len(s))
    print(s)

que da una salida:

número de sonidos con 1 notas: 1

[(0,)]

número de sonidos con 2 notas: 6

[(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)]

número de sonidos con 3 notas: 19

[(0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 1, 4), (0, 1, 5), (0, 1, 6), (0, 1, 7), (0, 1, 8), (0, 1, 9), (0, 1, 10), (0, 2, 4), (0, 2, 5), (0, 2, 6), (0, 2, 7), (0, 2, 8), (0, 2, 9), (0, 3, 6), (0, 3, 7), (0, 3, 8), (0, 4, 8)]

número de sonidos con 4 notas: 43

[(0, 1, 2, 3), (0, 1, 2, 4), (0, 1, 2, 5), (0, 1, 2, 6), (0, 1, 2, 7), (0, 1, 2, 8), (0, 1, 2, 9), (0, 1, 2, 10), (0, 1, 3, 4), (0, 1, 3, 5), (0, 1, 3, 6), (0, 1, 3, 7), (0, 1, 3, 8), (0, 1, 3, 9), (0, 1, 3, 10), (0, 1, 4, 5), (0, 1, 4, 6), (0, 1, 4, 7), (0, 1, 4, 8), (0, 1, 4, 9), (0, 1, 4, 10), (0, 1, 5, 6), (0, 1, 5, 7), (0, 1, 5, 8), (0, 1, 5, 9), (0, 1, 5, 10), (0, 1, 6, 7), (0, 1, 6, 8), (0, 1, 6, 9), (0, 1, 6, 10), (0, 1, 7, 9), (0, 1, 7, 10), (0, 1, 8, 10), (0, 2, 4, 6), (0, 2, 4, 7), (0, 2, 4, 8), (0, 2, 4, 9), (0, 2, 5, 7), (0, 2, 5, 8), (0, 2, 5, 9), (0, 2, 6, 8), (0, 2, 6, 9), (0, 3, 6, 9)]

número de sonidos con 5 notas: 66

[(0, 1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3, 5), (0, 1, 2, 3, 6), (0, 1, 2, 3, 7), (0, 1, 2, 3, 8), (0, 1, 2, 3, 9), (0, 1, 2, 3, 10), (0, 1, 2, 4, 5), (0, 1, 2, 4, 6), (0, 1, 2, 4, 7), (0, 1, 2, 4, 8), (0, 1, 2, 4, 9), (0, 1, 2, 4, 10), (0, 1, 2, 5, 6), (0, 1, 2, 5, 7), (0, 1, 2, 5, 8), (0, 1, 2, 5, 9), (0, 1, 2, 5, 10), (0, 1, 2, 6, 7), (0, 1, 2, 6, 8), (0, 1, 2, 6, 9), (0, 1, 2, 6, 10), (0, 1, 2, 7, 8), (0, 1, 2, 7, 9), (0, 1, 2, 7, 10), (0, 1, 2, 8, 9), (0, 1, 2, 8, 10), (0, 1, 2, 9, 10), (0, 1, 3, 4, 6), (0, 1, 3, 4, 7), (0, 1, 3, 4, 8), (0, 1, 3, 4, 9), (0, 1, 3, 4, 10), (0, 1, 3, 5, 6), (0, 1, 3, 5, 7), (0, 1, 3, 5, 8), (0, 1, 3, 5, 9), (0, 1, 3, 5, 10), (0, 1, 3, 6, 7), (0, 1, 3, 6, 8), (0, 1, 3, 6, 9), (0, 1, 3, 6, 10), (0, 1, 3, 7, 8), (0, 1, 3, 7, 9), (0, 1, 3, 7, 10), (0, 1, 3, 8, 9), (0, 1, 3, 8, 10), (0, 1, 4, 5, 8), (0, 1, 4, 5, 9), (0, 1, 4, 5, 10), (0, 1, 4, 6, 7), (0, 1, 4, 6, 8), (0, 1, 4, 6, 9), (0, 1, 4, 6, 10), (0, 1, 4, 7, 8), (0, 1, 4, 7, 9), (0, 1, 4, 7, 10), (0, 1, 4, 8, 10), (0, 1, 5, 6, 10), (0, 1, 5, 7, 9), (0, 1, 5, 7, 10), (0, 1, 5, 8, 10), (0, 1, 6, 8, 10), (0, 2, 4, 6, 8), (0, 2, 4, 6, 9), (0, 2, 4, 7, 9)]

número de sonidos con 6 notas: 80

[(0, 1, 2, 3, 4, 5), (0, 1, 2, 3, 4, 6), (0, 1, 2, 3, 4, 7), (0, 1, 2, 3, 4, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6), (0, 1, 2, 3, 5, 7), (0, 1, 2, 3, 5, 8), (0, 1, 2, 3, 5, 9), (0, 1, 2, 3, 5, 10), (0, 1, 2, 3, 6, 7), (0, 1, 2, 3, 6, 8), (0, 1, 2, 3, 6, 9), (0, 1, 2, 3, 6, 10), (0, 1, 2, 3, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 6), (0, 1, 2, 4, 5, 7), (0, 1, 2, 4, 5, 8), (0, 1, 2, 4, 5, 9), (0, 1, 2, 4, 5, 10), (0, 1, 2, 4, 6, 7), (0, 1, 2, 4, 6, 8), (0, 1, 2, 4, 6, 9), (0, 1, 2, 4, 6, 10), (0, 1, 2, 4, 7, 8), (0, 1, 2, 4, 7, 9), (0, 1, 2, 4, 7, 10), (0, 1, 2, 4, 8, 9), (0, 1, 2, 4, 8, 10), (0, 1, 2, 4, 9, 10), (0, 1, 2, 5, 6, 7), (0, 1, 2, 5, 6, 8), (0, 1, 2, 5, 6, 9), (0, 1, 2, 5, 6, 10), (0, 1, 2, 5, 7, 8), (0, 1, 2, 5, 7, 9), (0, 1, 2, 5, 7, 10), (0, 1, 2, 5, 8, 9), (0, 1, 2, 5, 8, 10), (0, 1, 2, 5, 9, 10), (0, 1, 2, 6, 7, 8), (0, 1, 2, 6, 7, 9), (0, 1, 2, 6, 7, 10), (0, 1, 2, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 7, 9, 10), (0, 1, 3, 4, 6, 7), (0, 1, 3, 4, 6, 8), (0, 1, 3, 4, 6, 9), (0, 1, 3, 4, 6, 10), (0, 1, 3, 4, 7, 8), (0, 1, 3, 4, 7, 9), (0, 1, 3, 4, 7, 10), (0, 1, 3, 4, 8, 9), (0, 1, 3, 4, 8, 10), (0, 1, 3, 5, 6, 8), (0, 1, 3, 5, 6, 9), (0, 1, 3, 5, 6, 10), (0, 1, 3, 5, 7, 8), (0, 1, 3, 5, 7, 9), (0, 1, 3, 5, 7, 10), (0, 1, 3, 5, 8, 9), (0, 1, 3, 5, 8, 10), (0, 1, 3, 6, 7, 9), (0, 1, 3, 6, 7, 10), (0, 1, 3, 6, 8, 9), (0, 1, 3, 6, 8, 10), (0, 1, 4, 5, 8, 9), (0, 1, 4, 5, 8, 10), (0, 1, 4, 6, 7, 10), (0, 1, 4, 6, 8, 10), (0, 2, 4, 6, 8, 10)]

número de sonidos con 7 notas: 66

[(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 8), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 9), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 5, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 5, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 5, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 6, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 6, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8), (0, 1, 2, 4, 5, 6, 9), (0, 1, 2, 4, 5, 6, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 7, 8), (0, 1, 2, 4, 5, 7, 9), (0, 1, 2, 4, 5, 7, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 8, 9), (0, 1, 2, 4, 5, 8, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 6, 7, 8), (0, 1, 2, 4, 6, 7, 9), (0, 1, 2, 4, 6, 7, 10), (0, 1, 2, 4, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 4, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 4, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 4, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 4, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 5, 6, 7, 10), (0, 1, 2, 5, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 5, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 5, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 5, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 5, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 6, 7, 9, 10), (0, 1, 3, 4, 6, 7, 9), (0, 1, 3, 4, 6, 7, 10), (0, 1, 3, 4, 6, 8, 9), (0, 1, 3, 4, 6, 8, 10), (0, 1, 3, 4, 7, 8, 10), (0, 1, 3, 5, 6, 8, 10)]

número de sonidos con 8 notas: 43

[(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10), (0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10)]

número de sonidos con 9 notas: 19

[(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10)]

número de sonidos con 10 notas: 6

[(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10), (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)]

número de sonidos con 11 notas: 1

[(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)]

número de sonidos con 12 notas: 1

[(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)]

Answer 3

Aquí tienes un algoritmo manual para producir una lista explícita; lo aplicaré a los triples de notas, y dejaré que lo modifiques para el caso de los cuádruples de notas. El caso de los triples permite una explicación más compacta (hay 19 "tipos de conjuntos" en este caso, pero 43 en el caso de los cuádruples), pero sigue capturando todos los fenómenos que se producen en el caso de los cuádruples.

Como en mi otra respuesta denotamos conjuntos de notas por una secuencia de cajas blancas y negras. Así, por ejemplo, denotamos el conjunto $\{1, 3, 5\}$ (el $0$ th, $4$ y $6$ notas) por $$\blacksquare \square \square \square \blacksquare \square \square \blacksquare \square \square \square \square .$$

Para cualquier conjunto de notas siempre podemos girar para suponer que la primera caja es negra, $\blacksquare$ . Ahora, podemos codificar cualquier conjunto de notas escribiendo los números $b_1, b_2, b_3$ de pasos entre los números sucesivos de las cajas negras (incluyendo entre el último y el primero); estos números deben sumar $12$ el número total de cajas.

Por ejemplo, en la secuencia de ejemplo, hay $b_1 = 4$ pasos entre el primer y el segundo bloque, $b_2 = 3$ entre el segundo y el tercero, y de forma similar $b_3 = 12 - b_1 - b_2 = 5$ , dando la descomposición (partición ordenada) $4 + 3 + 5$ de $12$ . Podemos recuperar la secuencia de la partición $(b_1, b_2, b_3)$ formando la secuencia cuyas cajas negras ocurren en las posiciones $0, b_1, b_1 + b_2$ .

Ahora bien, dos descomposiciones dan lugar a la misma secuencia si hay una permutación cíclica que lleva una a la otra -esto equivale simplemente a girar la secuencia de modo que empecemos una caja negra diferente- y podemos elegir un representante único entre ellas tomando la primera partición lexicográficamente. En nuestro ejemplo, las cuatro descomposiciones de $8$ podemos obtener de la permutación cíclica de $4 + 3 + 5$ son esa permutación, $3 + 5 + 4$ y $5 + 4 + 3$ . El segundo es el primero lexicográficamente, y corresponde al triple $(0, 3, 8)$ o la secuencia $$\underset{(1, 3^{\flat}, 6^{\flat})}{\blacksquare \square \square \blacksquare \square \square \square \square \blacksquare \square \square \square} .$$

Así, podemos codificar de forma única todas las triplas equivalentes escribiendo descomposiciones que sean lexicográficamente más tempranas entre sus permutaciones cíclicas. Obsérvese que si una descomposición es lexicográficamente más temprana, el número más pequeño de la descomposición debe aparecer en primer lugar, por lo que el primer número como máximo $\frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ reduciendo significativamente el número de descomposiciones que tenemos que comprobar.

Procediendo de forma ingenua, las 10 descomposiciones a partir de $1$ son $$1 + 1 + 10, \quad 1 + 2 + 9, \quad \ldots, \quad 1 + 9 + 2, \quad 1 + 10 + 1 ,$$ y todos ellos están en orden lexicográfico excepto el último, dando respectivamente $9$ secuencias: $$\underset{(1, 2^{\flat}, 2)}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \square \square \square \square \square \square \square \square \square}, \ldots, \underset{{(1, 2^{\flat}, 7^{\flat})}}{\blacksquare \blacksquare \square \square \square \square \square \square \square \square \blacksquare \square} .$$

Las descomposiciones de $12$ en números al menos $2$ son $$2 + 2 + 8, \quad 2 + 3 + 7, \quad \ldots, \quad 2 + 8 + 2 ,$$ y todos menos el último están en orden lexicográfico, dando $6$ más secuencias, respectivamente, $$\underset{(1, 2, 3)}{\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \square \square \square \square \square \square}, \ldots, \underset{(1, 2, 6)}{\blacksquare \square \blacksquare \square \square \square \square \square \square \square \blacksquare \square \square} .$$ Las descomposiciones de $12$ en números al menos $3$ son $$3 + 3 + 6, \quad 3 + 4 + 5, \quad 3 + 5 + 4, \quad 3 + 6 + 3 ,$$ y de nuevo todos menos el último están en orden, dando $3$ más secuencias: $$\underset{(1, 3^{\flat}, 4^{\sharp}/5^{\flat})}{\blacksquare \square \square \blacksquare \square \square \blacksquare \square \square \square \square \square}, \ldots, \underset{(1, 3^{\flat}, 6^{\flat})}{\blacksquare \square \square \blacksquare \square \square \square \square \blacksquare \square \square \square}.$$

Por último, sólo existe una única descomposición de $12$ en números al menos $4$ , a saber $$4 + 4 + 4 ,$$ dando la secuencia $$\underset{(1, 3, 6^{\flat})}{\blacksquare \square \square \square \blacksquare \square \square \square \blacksquare \square \square \square} .$$

En total, esto da $9 + 6 + 3 + 1 = 19$ secuencias, lo que coincide con el recuento de las otras respuestas.