Estoy tratando de entender la ley de la probabilidad total en el contexto de la probabilidad condicional.
Digamos que estamos tratando de calcular $P(A)$ pero puede ser más fácil calcular $P(A \cap B_i)$ dado $B_i$ son todos inconexos. La ley de la probabilidad total nos da, $P(A) = \sum_i P(A \cap B_i) = \sum_i P(A | B_i) P(B_i)$
Ahora, digamos que estamos tratando de calcular $P(A|C)$ pero puede ser más fácil calcular $P(A|C \cap B_i)$ dado $B_i$ son todos inconexos, así que empezamos de forma similar, $P(A|C) = \sum_i P(A \cap C \cap B_i)$
¿Estoy en lo cierto hasta ahora?
Ahora, estoy teniendo problemas para desglosar el término $\sum_i P(A \cap C \cap B_i)$ . Suponiendo que tengo que utilizar el teorema de Bayes, estoy tratando de averiguar lo que algunos eventos X e Y son,
$P(X) = \frac{\sum_i P(A \cap C \cap B_i)}{P(Y)} ... 0$
Entiendo que hay muchos eventos X e Y que hacen que la ecuación anterior sea cierta.
De la Ley de la probabilidad total wiki página, dice, $P(A|C) = \sum_i P(A|C \cap B_i) P(B_i | C)$ lo que significa que sus eventos X e Y son,
$P(A|C \cap B_i) = \frac{\sum_i P(A \cap C \cap B_i)}{P(B_i | C)} ... 1$
Estoy bajo la suposición de que en el teorema de Bayes el evento que estamos condicionando va al denominador, por lo que $P(A|{\color{red}B}) = \frac{P(A\cap B)}{P({\color{red}B})}$ , lo que significa que el expreso anterior debería ser,
$P(A|{\color{red}C} \mathbin{\color{red}\cap} {\color{red}B_i}) = \frac{\sum_i P(A \cap C \cap B_i)}{P({\color{red}C} \mathbin{\color{red}\cap} {\color{red}B_i})} ... 2$
Como puedes ver, el denominador de la ecuación 1 y 2 son muy diferentes. Estoy tratando de conciliar $\sum_i P(A \cap C \cap B_i) = \sum_i P(A|C \cap B_i) P(B_i | C)$ a lo que sé.
¿Son ciertas tanto la 1 como la 2? Como he mencionado hay muchas X e Y que hacen que la ecuación 0 sea verdadera. Tratando de entender lo racional detrás de ella.
