¿Existe algún criterio para determinar si un espacio tiene el tipo de homotopía de una variedad cerrada (lisa o topológica)? La dualidad de Poincare es una condición necesaria obvia, pero casi seguro que no es suficiente. ¿Existen otras propiedades homotópicas especiales de las variedades?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En la teoría de la cirugía (que es básicamente todo un campo de las matemáticas que trata de responder a preguntas como la anterior), el siguiente obstáculo a la existencia de una variedad en el tipo homotópico es que todo complejo finito con dualidad de Poincaré es el espacio base de una cierta fibración distinguida (fibración normal de Spivak) cuya fibra es homotópicamente equivalente a una esfera. (Para obtener una única fibración de este tipo, hay que identificar dos fibraciones si son homotópicamente equivalentes en fibra o si una se obtiene a partir de la otra por suspensión fibrosa).
Para los manifolds, esta fibración es la esferización del haz normal, por lo que la fibración normal de Spivak procede de un haz vectorial. Esto es invariante bajo equivalencia homotópica. Por tanto, el siguiente obstáculo es: la fibración normal de Spivak debe proceder de un haz vectorial.
Si no recuerdo mal, fue Novikov el primero en demostrar que para espacios simplemente conectados de dimensión impar al menos 5, éste es el único obstáculo adicional.
En general, existe un obstáculo adicional con los valores de un grupo $L_n(\pi_1,w)$ que depende del grupo fundamental, de la primera clase de Stiefel-Whitney y de la dimensión. Véanse las notas de Lück sobre la teoría de la cirugía en https://www.him.uni-bonn.de/lueck/data/ictp.pdf
berberich
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255
El principal resultado de la teoría de la cirugía de Browder-Novikov-Sullivan-Wall (1962-1969) es que para $n>4$ un espacio $X$ es homotópicamente equivalente a una variedad topológica (resp. diferenciable) compacta de n dimensiones si y sólo si $X$ es homotópicamente equivalente a una finita $CW$ complejo $M$ con $n$ -y existe un haz topológico (resp. vectorial) sobre $M$ para el que el mapa normal correspondiente $(f,b):N\to M$ de un $n$ -dimensional $N$ tiene cero obstrucción quirúrgica en el Muro $L$ -de formas cuadráticas sobre $Z[\pi_1(X)]$ . Así pues, hay dos obstáculos, uno topológico primario $K$ -a la existencia de un haz, y (dependiendo de la desaparición de la principal, y una elección de la razón) una obstrucción secundaria en algebraica $L$ -teoría. La teoría original era para variedades diferenciables: la extensión a variedades topológicas debida a Kirby y Siebenmann (1970) sigue siendo un gran éxito de la teoría de la cirugía. Todo esto se explica (con cierta extensión) en el libro del propio Wall Cirugía en variedades compactas (1970/1998) y también en mis propios libros Teoría L algebraica y variedades topológicas (1992) y Cirugía algebraica y geométrica (2002), así como muchas otras referencias (como las notas de Wolfgang Lück enumeradas en un post anterior). He puesto a su disposición un gran número de recursos relacionados con la cirugía en mi sitio web .
bignose
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459
Sean: esto da un espacio de Poincare que no es homotópicamente equivalente a una colector cerrado. la idea es que la fibración de Spivak del $5$ dimensional de Poincare no se eleva a un haz vectorial estable. Esto se puede demostrar de la siguiente manera $X^5$ ser como en Madsen y Milgram. Entonces $X$ fibras sobre $S^3$ con fibra $S^2$ . Llamamos a esta fibración $\xi$ y que la proyección $X \to S^3$ sea $p$ . Tenga en cuenta que $p$ tiene una sección, llámela $s$ .
No es difícil demostrar que la fibración de Spivak de $X$ en este caso es sólo $p^*\xi$ . A continuación, hay que comprobar que $p^*\xi$ no se eleva a un haz vectorial estable. Pero si lo hiciera, entonces también lo haría $$\xi = (p \circ s)^*\xi = s^*p^* \xi\ .$$ Pero es muy fácil ver que $\xi$ no levanta ( $\xi$ viene dado por el elemento no trivial de $\pi_2(F) = \mathbb{Z}_2$ donde $F$ clasifica las fibraciones esféricas con sección, mientras que $\pi_2(O)$ es trivial).
braveterry
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111
Me estoy basando en la memoria. Un buen ejemplo, que se discute en el libro de Madsen y Milgram sobre la cirugía y la clasificación de espacios topológicos, $PL$ y colectores lisos es el conjunto de $1$ -espacios de dualidad de Poincare de dimensión 5 con h. e. de 4 esqueletos a la $4$ -esqueleto de $S^2\times S^3$ que es $S^2\vee S^3$ .
a. $S^2\times S^3$ que es obviamente un colector
b. una variedad homeomorfa a $SU(3)/SO(3)$ (aunque este hecho no se menciona en Madsen y Milgram).
c. un espacio de dualidad de Poincaré cuya fibración de Spivak no puede reducirse a un haz vectorial liso. Esto se demuestra utilizando operaciones de cohomología secundaria basadas en los cuadrados de Steenrod. Gitler y Spivak lo demostraron por primera vez.
Eric Haskins
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Jacob Lurie dio una charla la semana pasada en la conferencia del cumpleaños de Peter May sobre la dualidad no conmutativa de Poincaré. La idea es tomar una $n$ -manifold $M$ y un $(n-1)$ -espacio conectado $X$ . A continuación, demostró que el espacio cartográfico compacto $\mbox{Map}_c(M,X)$ es isomorfo a un cierto colímite homotópico sobre una cierta categoría de subconjuntos abiertos de $M$ . Esto es equivalente a la dualidad conmutativa habitual de Poincaré. Sin embargo, no está claro (para mí) cuál es la generalización natural de la afirmación a los no-manifolds. Por tanto, no estoy seguro de cómo utilizarla como prueba. Sin embargo, si se pudiera utilizar como una prueba de ser una variedad, parece factible que si la declaración no conmutativa celebrada para su espacio de prueba $M$ y todos $(n-1)$ -espacios conectados $X$ para algunos $X$ entonces parece razonable preguntarse si su espacio de prueba es del tipo homotópico de un n-manifold.
La categoría de conjuntos abiertos sobre la que Lurie toma el colímite es la categoría de bolas disjuntas (homeomorfas a $\mathbb{R}^n$ ) en $M$ . Así, una suposición podría ser algo como: si $M$ es un espacio, y si $U$ es una categoría de conjuntos abiertos de $M$ que cubren $M$ y si $\mbox{Map}_c(M,X)$ es equivalente al colímite homotópico de $\mbox{Map}_c(U_i,X)$ para todos $U_i$ en $U$ para todos $(n-1)$ -conectado $X$ para algunos $n$ entonces $M$ tiene el tipo homotópico de un $n$ -manifold.
No tengo ni idea de si esto es cierto, e incluso si lo fuera, no está claro si sería útil.
