¿Existen los ángulos "imaginarios" y "complejos"?

Question

Durante algunos experimentos con senos y cosenos, sus inversos y números complejos, me encontré con estos resultados que me parecieron bastante interesantes:

$ \sin ^ {-1} ( 2 ) \approx 1.57 - 1.32 i $

$ \sin ( 1 + i ) \approx 1.30 + 0.63 i $

¿Significa esto que existen los ángulos "imaginarios" o "complejos" y, en caso afirmativo, qué utilidad práctica tienen?

Answer 1

Estos valores se basan en la generalización de la función seno como $$ \sin x = \dfrac{ e^{ i x } - e^{ - ix } }{2i}. $$ Evidentemente, cuando $x$ es complejo no puede interpretarse geométricamente como un ángulo; sin embargo, generalizado de esta manera, $\sin x$ se convierte en una función holomorfa, lo que es bueno por muchas otras razones. En la práctica, los "ángulos imaginarios" tienen algunas aplicaciones en física. Por ejemplo, en óptica, cuando un rayo de luz incide en una superficie como el cristal, la ley de Snell indica el ángulo del rayo refractado, y las ecuaciones de Fresnel indican las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas en una interfaz en función de ese ángulo. Si el ángulo de incidencia es muy oblicuo al pasar del vidrio al aire, no habrá haz refractado: el fenómeno se denomina reflexión interna total. Sin embargo, si se intenta resolver el ángulo mediante la ley de Snell, se obtiene un ángulo imaginario. Si lo introducimos en las ecuaciones de Fresnel, obtendremos la reflectancia del 100% observada en la práctica, junto con un "haz" que decae exponencialmente y recorre una pequeña distancia en el aire. Esto se denomina onda evanescente y es importante para diversas aplicaciones en óptica.

Answer 2

Véase Una visión geométrica de las funciones trigonométricas complejas de Richard Hammack en The College Mathematics Journal, mayo de 2007; 38, 3 páginas 210-217, para una discusión mucho más exhaustiva de los ángulos complejos como ángulos hiperbólicos.

Answer 3

Sí, la función seno puede definirse con sentido en todo el plano complejo como se explica aquí .

Si desea o no llamar a un argumento complejo para la función seno un ángulo es una cuestión diferente y, supongo, una cuestión de gustos.

Answer 4

El ejemplo de la óptica puede ir más lejos:

La ley de Snell establece que $n_{0} \, \sin(\theta_{0})= n_{1} \, \sin(\theta_{1})$ . Para los materiales absorbentes (o conductores como Au o Ag) el " $n_{1}$ "es un número complejo. Esto requiere que $\theta_{1}$ también ser compleja.

Answer 5

Muchas áreas de la física utilizan la fórmula de Euler, que relaciona funciones trigonométricas con exponenciales complejas. Este caso, sin embargo, no admite ángulos complejos: El argumento de la exponencial compleja es $e^{i\theta}$ que se interpreta como una función trigonométrica real $\cos(\theta)$ o $\sin(\theta)$ .

En cambio, un ángulo complejo es otra historia. Ahora daré una explicación física cualitativa de por qué los ángulos complejos no pueden ser físicos.

Supongamos que tenemos un cierto sistema físico, digamos un péndulo - en el que la energía depende de un ángulo $\theta$ mediante la ecuación $E=-mgL\cos(\theta)$ . Si ahora permitimos que el sistema tenga un ángulo complejo hipotético: $E=-mgL\cos(i\theta)$ . Debido a la identidad $\cos(i\theta)=\cosh(\theta)$ tenemos una energía $E=-mgL\cosh(\theta)$ . Como todos sabemos, esto significa que la energía no está limitada desde abajo (como $\cosh(\theta)$ aumentan exponencialmente a medida que $\theta$ tiende a infinito) - y esto es una seria ruptura de las leyes de la física. Si fuera cierto, entonces el sistema tendería hacia el estado de energía más bajo, y la conservación de la energía le exigiría liberar energía al entorno a medida que el sistema minimiza su energía. Creando así una cantidad infinita de energía a partir del plano complejo.