¿Ejemplos de procesos que no son Poisson?

Question

Estoy buscando algunos buenos ejemplos de situaciones que no son adecuadas para modelar con una distribución de Poisson, para ayudarme a explicar la distribución de Poisson a los estudiantes.

Se suele utilizar como ejemplo el número de clientes que llegan a una tienda en un intervalo de tiempo que puede modelarse mediante una distribución de Poisson. Estoy buscando un contraejemplo en una línea similar, es decir, una situación que pueda considerarse como un proceso de recuento positivo en tiempo continuo que claramente no sea Poisson.

Lo ideal es que la situación sea lo más sencilla y directa posible, para que los alumnos puedan comprenderla y recordarla con facilidad.

Answer 1

¿Se refiere a datos de recuento positivo? ¿Sin límites?

El binomio negativo es popular.

Otro buen modelo es el Poisson con 0 inflado. Ese modelo supone que o bien ocurre algo o no ocurre - y si ocurre, sigue un Poisson. Hace poco vi un ejemplo. Se preguntó a enfermeras que trataban a enfermos de sida con qué frecuencia experimentaban comportamientos estigmatizantes por parte de otras personas como resultado de su relación con los enfermos de sida. Un gran número de ellas nunca había tenido este tipo de experiencias, posiblemente debido al lugar donde trabajaban o vivían. De los que sí las habían tenido, el número de experiencias estigmatizantes variaba. Se registraron más 0 de los que cabría esperar de un Poisson directo, básicamente porque una cierta proporción del grupo estudiado simplemente no se encontraba en un entorno que les expusiera a tales comportamientos.

Una mezcla de Poisson también te daría un proceso puntual.

Answer 2

Número de cigarrillos fumados en un periodo de tiempo: requiere un proceso con inflación cero (por ejemplo, Poisson con inflación cero o binomial negativa con inflación cero) porque no todo el mundo fuma cigarrillos.

Answer 3

No está claro si quiere procesos de recuento o no.

Si interpreto la etiqueta "enseñanza" en el sentido de que está enseñando el proceso de Poisson, entonces, para la enseñanza de un proceso en general, la etiqueta Proceso de Bernoulli es un proceso aleatorio fácil de explicar y visualizar y está relacionado con el proceso de Poisson. El proceso de Bernoulli es el análogo discreto, por lo que puede ser un concepto complementario útil. Sólo que en lugar de tiempo continuo tenemos intervalos de tiempo discretos.

Un ejemplo podría ser un vendedor puerta a puerta en el que contamos los éxitos por hogares que realizan una compra.

• El número de aciertos en los primeros n ensayos, tiene una binomial
  B(n, p) en lugar de una distribución de Poisson
• El número de ensayos necesarios para obtener r aciertos, tiene una distribución binomial negativa NB(r, p) en lugar de una distribución gamma
• El número de ensayos necesarios para obtener un éxito, el tiempo de espera, tiene una distribución geométrica NB(1, p), que es el análogo discreto de la exponencial.

Ese es el enfoque que Bertsekas y Tsitsiklis utilizan en Introducción a la probabilidad , 2ª ed., que introduce el proceso de Bernoulli antes que el proceso de Poisson. En su libro de texto hay más extensiones del proceso de Bernoulli que son aplicables al proceso de Poisson, como fusionarlos o particionarlos, así como conjuntos de problemas con soluciones.

Si busca ejemplos de procesos aleatorios, y sólo quiere lanzar los nombres por ahí, hay bastantes.

El proceso gaussiano es significativo en las aplicaciones. En particular, el proceso de Weiner, que es un tipo de proceso gaussiano, también se denomina movimiento browniano estándar y tiene aplicaciones en finanzas y física.

Answer 4

¿Procesos de recuento que no son Poisson? Bueno, cualquier proceso de espacio muestral finito como binomial o uniforme discreto. Se obtiene un proceso de recuento de Poisson a partir del recuento de eventos que tienen tiempos de llegada independientes que se distribuyen exponencialmente, por lo que toda una serie de generalizaciones se derivan de eso, como tener tiempos de llegada gamma o lognormal o Weibull distribuidos, o cualquier tipo de distribución abstracta no paramétrica de tiempo de llegada.

Answer 5

Otros han mencionado varios ejemplos de procesos puntuales que no son Poisson. Dado que Poisson corresponde a tiempos de interllegada exponenciales, si se elige cualquier distribución de tiempos de interllegada que no sea exponencial, el proceso puntual resultante no es Poisson. AdamO señaló el Weibull. Usted podría utilizar gamma, lognormal, o beta como posibles opciones.

El Poisson tiene la propiedad de que su media es igual a su varianza. Un proceso puntual que tiene una varianza mayor que la media se denomina a veces sobredisperso y si la media es mayor que la varianza es subdisperso. Estos términos se utilizan para relacionar el proceso con un Poisson. La binomial negativa se utiliza a menudo porque puede ser sobredispersa o subdispersa en función de sus parámetros.

El Poisson tiene una varianza que es constante. Un proceso puntual que se ajusta a las condiciones de Poisson excepto por no tener un parámetro de tasa constante y, en consecuencia, una media y una varianza variables en el tiempo se denomina Poisson no homogéneo.

Un proceso con tiempos de interllegada exponenciales pero que puede tener múltiples eventos en el tiempo de llegada se denomina Poisson compuesto. Aunque son similares al proceso de Poisson y tienen un nombre con la palabra Poisson, los procesos de Poisson no homogéneos y compuestos son diferentes de un proceso puntual de Poisson.