$AM-GM$ -desigualdades

Question

Supongamos que $x_0, \cdots, x_n$ son reales positivos. Supongamos que: $$\sum_{i = 0}^n \frac{1}{1+x_i} \leq 1$$ Pues demuéstralo: $$\prod_{i=0}^{n} x_i \geq n^{n+1} $$

Llegué a este problema reescribiendo el problema $665$ en el libro de Andreescu. Esto parece algo bastante estándar, pero no puedo entenderlo.

Answer 1

Dejemos que $y_i:=\dfrac{1}{1+x_i}$ para $i=0,1,2,\ldots,n$ . Entonces, $y_0,y_1,y_2,\ldots,y_n$ son números reales positivos tales que $\sum\limits_{i=0}^n\,y_i\leq 1$ . Queremos demostrar que $$\prod_{i=0}^n\,\left(\frac{1-y_i}{y_i}\right)\geq {n^{n+1}}.$$

Dejemos que $[n]:=\{0,1,2,\ldots,n\}$ . Para demostrar la última desigualdad, observamos que $$1-y_i\geq \sum_{j\in[n]\setminus\{i\}}\,y_j\geq n\,\left(\prod_{j\in[n]\setminus\{i\}}\,y_j\right)^{\frac{1}{n}}$$ para cada $i\in[n]$ . Así, $$\prod_{i=0}^n\,\left(\frac{1-y_i}{y_i}\right)\geq \prod_{i=0}^n\,\left(\frac{n\,\left(\prod\limits_{j\in[n]\setminus\{i\}}\,y_j\right)^{\frac{1}{n}}}{y_i}\right)={n^{n+1}}\,.$$ La igualdad se mantiene si y sólo si $y_0=y_1=y_2=\ldots=y_n=\dfrac1{n+1}$ .

Answer 2

Porque por AM-GM $$\prod_{i=0}^n\frac{x_i}{1+x_i}\geq\prod_{i=0}^n\sum_{k\neq i}\frac{1}{1+x_k}\geq\prod_{i=0}^n\left(n\prod_{k\neq i}\frac{1}{\sqrt[n]{1+x_k}}\right)=\frac{n^{n+1}}{\prod\limits_{i=0}^n(1+x_i)}$$ ¡y hemos terminado!