evaluación de algunos límites - cálculo

Question

Problemas con los siguientes límites:

$$ 1. \quad \quad \lim_{x\to0^+} e^{1/x} + \ln x \, . $$

Sustituciones como $e^{1/x}=t$ y $1/x = t$ no dan ningún resultado útil.

Más o menos lo mismo con $$ 2. \quad \quad \lim_{x\to 0^+} e^{1/x} - 1/x \, , $$ El denominador común no ayuda mucho.

Gracias.

Answer 1

Si acepta que $\ln u\lt u$ para todos $u$ se deduce que $\ln(1/x)\lt1/x$ Por lo tanto

$$e^{1/x}-1/x\lt e^{1/x}-\ln(1/x)=e^{1/x}+\ln x$$

En consecuencia, basta con demostrar

$$\lim_{x\to0^+}(e^{1/x}-1/x)=\infty$$

Ahora sí que tenemos $\lim_{x\to0^+}e^{1/x}=\infty$ . Escribamos

$$e^{1/x}-1/x=e^{1/x}\left(1-{1/x\over e^{1/x}} \right)$$

y echa un vistazo a

$$\lim_{x\to0^+}\left(1-{1/x\over e^{1/x}} \right)=1-\lim_{x\to0^+}{1/x\over e^{1/x}}=1-\lim_{x\to0^+}{-1/x^2\over(-1/x^2)e^{1/x}}=1-\lim_{x\to0^+}{1\over e^{1/x}}=1-0=1$$

Esto alimenta el teorema general de que si $\lim f(x)=\infty$ y $\lim g(x)\gt0$ entonces $\lim f(x)g(x)=\infty$ .

Answer 2

Para $2)$ : $e^{1/x} - 1/x > 1 + 1/x^2 \to +\infty$ y para $1)$ $e^{1/x} + \ln x = e^{1/x} - \ln\left(1/x\right)> 1 + 1/x + 1/x^2 - \left(1/x - 1\right)> 1/x^2 \to +\infty$

Answer 3

\begin{align*} \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} e^{\frac{1}{x}} +\ln x& = \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} \frac{e^{\frac{1}{x}} +\ln x}{\frac{1}{x}}\\ &= \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}} +\ln x}{\frac{1}{x}}\\ &= \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} \frac{\frac{-1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}\\ &= \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} \lim \limits _{x\rightarrow 0^+} e^{\frac{1}{x}} -x\\ &=+\infty \end{align*} El segundo es como el primero.

Answer 4

Primero demostremos que $$ \lim_{u \to \infty} \frac{\ln u}{e^u} = 0$$ esto se debe a que $$ \ln u < u < \frac{u^2}{2} < e^u \text{ so that } \frac{\ln u}{e^u} < \frac{2u}{u^2} \rightarrow 0 \text{ as } u \to \infty. $$ hagamos un cambio de variable $u = \frac 1 x, x = \frac 1 u.$ con eso necesitamos encontrar el $$\lim_{u\to \infty} e^u - \ln u = \lim_{u \to \infty}e^u\left(1- \frac{\ln u}{e^u}\right) =\infty \times 1 = \infty. $$