$\mathbb{R}^n$ con un número contable de puntos eliminados es simplemente conectado

Question

Estaba usando el Teorema de Van Kampen y la inducción para demostrar que $\mathbb{R}^n$ con un número finito de puntos eliminados es simplemente conectado para $n\geq 3$ . Sin embargo, esto me hizo preguntarme si podemos eliminar un número contable de puntos y obtener la misma conclusión. No estoy seguro de cómo lo demostraría, ni se me ocurre un contraejemplo. Ni siquiera estoy seguro de si $\mathbb{R}^n\setminus\mathbb{Q}^n$ está simplemente conectado.

Answer 1

Sí, simplemente está conectado. Ver la prueba dada aquí : Se aplicará a cualquier subconjunto contable de cualquier colector topológico simplemente conectado de dimensión $\ge 3$ . Una pregunta relacionada con el MSE es aquí .