Descomposición CW del espacio cociente

Question

Dejemos que $X$ sea el espacio que resulta de la forma $D^3$ identificando los puntos de la frontera $S^2$ que están mapeados entre sí por un $180°$ -rotación alrededor de algún eje fijo.

Quiero calcular la homología celular de $X$ pero tengo problemas para encontrar una descomposición adecuada de CW. ¿Cómo se puede encontrar una descomposición CW de un complejo CW, especialmente si es más complejo?

Answer 1

Una pista: primero hay que encontrar una descomposición CW de $S^2$ que es invariable bajo la $180^\circ$ rotación.

Answer 2

No existe una forma general de encontrar una descomposición CW de un espacio arbitrario. En este ejemplo concreto, obsérvese que $S^2$ con las identificaciones prescritas es simplemente $S^2$ . Entonces, para obtener nuestro espacio $X$ de que debemos pegar en una celda de 3. Intenta convencerte de que el mapa de unión del $3$ -es precisamente la suspensión del grado $2$ mapa $$f:S^1\to S^1\\ z\mapsto z^2.$$ Así que podemos dar $X$ la estructura celular de una $0$ -célula, una $2$ -célula y una $3$ -célula en la que el $3$ -la célula está unida a través de un grado $2$ mapa. (La suspensión de un grado $k$ el mapa tiene grado $k$ - probar esto, es fácil).

Esto proporciona todos los ingredientes necesarios para calcular la homología (celular) de este espacio.