Dejemos que $X$ sea el espacio que resulta de la forma $D^3$ identificando los puntos de la frontera $S^2$ que están mapeados entre sí por un $180°$ -rotación alrededor de algún eje fijo.
Quiero calcular la homología celular de $X$ pero tengo problemas para encontrar una descomposición adecuada de CW. ¿Cómo se puede encontrar una descomposición CW de un complejo CW, especialmente si es más complejo?
No existe una forma general de encontrar una descomposición CW de un espacio arbitrario. En este ejemplo concreto, obsérvese que $S^2$ con las identificaciones prescritas es simplemente $S^2$ . Entonces, para obtener nuestro espacio $X$ de que debemos pegar en una celda de 3. Intenta convencerte de que el mapa de unión del $3$ -es precisamente la suspensión del grado $2$ mapa $$f:S^1\to S^1\\ z\mapsto z^2.$$ Así que podemos dar $X$ la estructura celular de una $0$ -célula, una $2$ -célula y una $3$ -célula en la que el $3$ -la célula está unida a través de un grado $2$ mapa. (La suspensión de un grado $k$ el mapa tiene grado $k$ - probar esto, es fácil).
Esto proporciona todos los ingredientes necesarios para calcular la homología (celular) de este espacio.
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@GrumpyParsnip: En topología de baja dimensión, existe el concepto de falsas 3-células, que son variedades compactas y contráctiles que sin embargo no son 3-células. Esto lleva inevitablemente al concepto de falsas falsas 3-células.