Si $A$ es un $R$ -con algún tipo de estructura de anillo, ¿es cierto que cualquier $R$ -submódulo de $A$ es un ideal de $A$ ?

Question

Si $A$ es un $R$ -con algún tipo de estructura de anillo, ¿es cierto que cualquier $R$ -submódulo de $A$ es un ideal de $A$ ?

Answer 1

No, piensa en los anillos polinómicos. Por ejemplo, pon $A=R[x]$ (que es efectivamente un $R$ -) y considerar el $R$ -submódulo $M$ de todos los polinomios $f(x)$ tal que $\deg f\le n$ . Esto no es un ideal de $A$ ya que $1\in M$ pero $M\ne A$ .

Answer 2

Intenta pensar en esto en un caso más simple, digamos cuando $R$ es un campo. Entonces se estaría preguntando "¿son todos los subespacios de $A$ ideales de $A$ ?

En este punto, es posible que se te ocurra la idea de mirar $M_n(F)$ , $n>1$ . No tiene ideales no triviales, pero sí muchos ideales no triviales $F$ submódulos.