Permutación de n símbolos

Question

Para n 1, sea $S_n$ denota el grupo de todas las permutaciones sobre n símbolos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. S3 tiene un elemento de orden 4

B. S4 tiene un elemento de orden 6

C. S4 tiene un elemento de orden 5

D. S5 tiene un elemento de orden 6.

Mi trabajo: El orden del grupo es $n!$ .

A y C son falsos (por el teorema de Lagrange). ¿Cómo puedo proceder a continuación de forma intuitiva?

Answer 1

Pregunta B

Un elemento de $\mathcal S_4$ es un $2$ -ciclo (de orden $2$ ), a $3$ -ciclo (con orden $3$ ), un producto de dos $2$ -ciclos (con orden $2$ ) o un $4$ -ciclo (de orden $4$ ). Por lo tanto, ninguno de los elementos de $\mathcal S_4$ puede tener orden $6$ .

Pregunta D

Un producto de dos ciclos disjuntos de orden $2$ y $3$ tiene de hecho el orden $6$ en $\mathcal S_5$ . Este es el caso, por ejemplo, de $(1 \ 2 \ 3)(4 \ 5)$ .