$ o(ab)= o(ba)$ ¿Qué hay de cuando $ab$ tiene un orden infinito?

Question

He podido comprobarlo cuando digo que simplemente asumo $o(ab)= n$ pero he estado reflexionando sobre el caso de que $o(ab)$ es infinito?

¿Es algo que hay que tener en cuenta? Y si no, ¿por qué?

Mi razonamiento es que si $o(ab)$ es infinito, entonces no se puede realmente comparar con el infinito, es decir, no se puede decir que dos cosas infinitas sean iguales. ¿Es eso correcto?

Answer 1

El orden es siempre el mismo, ya que $ab$ y $ba$ son elementos conjugados a través de los automorfismos: $$\phi_a : x \to a^{-1} x a,$$ $$\phi_b : x \to b^{-1} x b,$$ Por lo tanto, si $o(ab)$ es finito, $o(ba)|o(ab)$ Así que $o(ba)$ es finito, y como $o(ba)|o(ab)$ , $o(ab)=o(ba)$ .

Si $o(ab)$ es infinito, $o(ba)$ también es infinito.

Answer 2

Supongamos que $ab$ tiene un orden infinito pero $ba$ tenía un orden finito $n$ . Entonces puedes usar tu trabajo anterior para demostrar que $ab$ también tenía orden $n$ una contradicción.

Por lo tanto, si $ab$ tiene un orden infinito entonces también lo tiene $ba$ .