Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea continua tal que $\dfrac{f(x)}{x}=f'\left(\dfrac{x}{2}\right)$ . Visite $f(x)$ .
(2):si $f(x)$ en $x\in[a,b] $ sea continua, encuentre todas $f(x)$ ?
Creo que esto es una ODE.
Respuesta
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Sea $\alpha_0 = 1, \alpha_1 = 2$ y que $\alpha_2, \alpha_3, \ldots$ sea el conjunto completo de raíces en el plano complejo de la ecuación:
$$\alpha = 2^{\alpha-1} \quad\text{ subject to constraint }\quad \Re{\alpha} > 1, \Im{\alpha} > 0$$
Para $k \ge 2$ Escriba $\alpha_k$ como $\beta_k + \gamma_k i$ donde $\beta_k, \gamma_k \in \mathbb{R}$ .
Para cualquier conjunto de constantes reales $A_0, A_1, \ldots$ y $\delta_2, \delta_3, \ldots \in \mathbb{R}$ . Es fácil comprobar la función definida por:
$$\begin{align}f(x) &= A_0 x + A_1 x^2 + \sum_{k=2}^{\infty} \Re{\left( A_k e^{i\delta_k} x^{\alpha_k}\right)}\\ &= A_0 x + A_1 x^2 + \sum_{k=2}^{\infty} A_k x^{\beta_k} \cos(\gamma_k\log(x) + \delta_k) \end{align}$$
es una solución de la ecuación funcional sobre $[0,\infty)$ siempre que esta serie y la serie asociada a su derivada converjan.
La condición $\Re{\alpha_k} > 1$ pour $k \ge 2$ garantizar $f(x)$ cae a cero lo suficientemente rápido como para que $f'(0+)$ está definido y es igual a $A_0$ .
En $(-\infty,0]$ podemos definir otra función $\tilde{f}(x)$ de manera similar:
$$\begin{align}\tilde{f}(x) &= \tilde{A}_0 x + \tilde{A}_1 x^2 + \sum_{k=2}^{\infty} \Re{\left( \tilde{A}_k e^{i\tilde{\delta}_k} |x|^{\alpha_k}\right)}\\ &= \tilde{A}_0 x + \tilde{A}_1 x^2 + \sum_{k=2}^{\infty} \tilde{A}_k |x|^{\beta_k} \cos(\gamma_k\log|x| + \tilde{\delta}_k) \end{align}$$
Una vez más, se trata de una solución para la ecuación funcional sobre $(-\infty,0]$ proporcionado esta serie y la serie asociada a su derivada converjan. Además, $f'(0-)$ existe e igual a $\tilde{A}_0$ .
Si $A_0 = \tilde{A}_0$ podemos pegar estas dos soluciones para construir un $C^{1}$ solución de la ecuación funcional sobre el conjunto $\mathbb{R}$ .
Por poner un ejemplo, $\alpha_2 \sim 4.545364930374021 + 10.75397517526888 i$ implica $$f(x) \sim |x|^{4.545364930374021} \cos(10.75397517526888 \log|x|)$$ será un $C^1$ solución para la ecuación funcional.
