Cómo resolver esta ecuación integral $f(x)=x+2+\int_0^x f(t)\sin (x-t)dt$ ?

Question

Encuentre $f(x)$ cuando cumpla lo siguiente:

$$f(x)=x+2+\int_0^x f(t)\sin (x-t)dt$$ $$\\$$ Intenté diferenciar ambos lados pero estaba muy confundido sobre cómo diferenciar la integral ya que también incluye $x$ .

Entonces convertí como

$$\int_0^x f(t)\sin (x-t)dt=\sin x\int_0^x f(t)\cos tdt- \cos x \int_0^x f(t)\sin tdt$$

Y

$$f'(x)=1+\int_0^x f(t)\cos (x-t)dt$$

pero no tengo ni idea de qué hacer con él.

Answer 1

Como podemos escribir $$f(x)=x+2+\sin x\int_{0}^{x}f(t)\cos tdt-\cos x\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt\tag1$$ tenemos $$f'(x)=1+\cos x\int_{0}^{x}f(t)\cos tdt+\sin xf(x)\cos x+\sin x\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt-\cos xf(x)\sin x$$ $$=1+\cos x\int_{0}^{x}f(t)\cos tdt+\sin x\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt$$ y $$f''(x)=-\sin x\int_{0}^{x}f(t)\cos tdt+\cos xf(x)\cos x+\cos x\int_{0}^{x}f(t)\sin tdt+\sin xf(x)\sin x$$ $$=f(x)+x+2-f(x)=x+2$$ utilizando $(1)$ .

Por último, hay que tener en cuenta que $f(0)=2,f'(0)=1$ .

Answer 2

Primera idea: diferenciar f'(x):

tienes $f''(x) = (1+\int_0^x f(t)\cos (x-t)dt)' =f(x) -\int_0^x f(t)\sin(x-t)dt$ y reemplazar $f(x)$ por su valor, $f(x)=x+2+\int_0^x f(t)\sin (x-t)dt$ .

obtenemos $f''(x)= x+2$ . por lo que el problema se resuelve con una simple integración.

segunda idea: utilizar las transformadas de Laplace.