¿Cuál es la transformada inversa de Fourier de $1/|\omega|$ ?

Question

¿Cuál es la transformada inversa de Fourier de $\frac{1}{|\omega|}$ ?

$$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|\omega|}e^{i\omega t}d\omega=? $$

Answer 1

Su integral no converge porque $\frac{1}{|x|}$ no es integrable en $x=0$ .

Además, incluso si nos fijamos en la transformada de Fourier de las distribuciones (no es un tema fácil) entonces $\frac{1}{|x|}$ no es una distribución, $\frac{1}{x}$ ni lo uno ni lo otro.

Ahora $vp(\frac{1}{x})$ está bien definido como una distribución, por $$\forall \varphi \in S(\mathbb{R}), \quad \langle vp(\frac{1}{x}), \varphi \rangle = \langle \frac{1}{x}, \varphi-\varphi(0)e^{-x^2} \rangle = \int_{-\infty}^\infty \frac{\varphi(x)-\varphi(0)e^{-x^2}}{x}dx$$ donde $S(\mathbb{R}$ es el Espacio Schwartz ).

Tenga en cuenta que $T$ es una distribución templada si $T \ast e^{- x^2/a^2}$ está bien definida. $T \ast e^{- x^2/a^2}$ tiene por supuesto una transformada de Fourier, y la transformada de Fourier de $T$ es por definición el límite de $\mathcal{F}[T \ast \frac{e^{- x^2/a^2}}{|a|\sqrt{\pi}}]$ como $a \to 0$ .

A partir de aquí, la transformada de Fourier de $vp(\frac{1}{x})$ es $\frac{i}{2} \, sign(\omega)$ porque $i x \,vp(\frac{1}{x}) = i \implies \frac{d}{d\omega} \mathcal{F}[vp(\frac{1}{x})] = i\delta$

Answer 2

La respuesta en términos de distribuciones se da aquí . La fórmula dada para la transformación de $\ln(x^2+a^2)$ sigue siendo aplicable para $a=0$ , dando lugar a $$\frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac 1 {|\omega|} e^{i t \omega} d\omega = -\frac {\ln |t| + \gamma} \pi.$$