Diferencias finitas aplicadas a un producto

Question

Creo que la diferencia finita

$$\frac{f(x_0 + \frac12 \Delta x) - f(x_0 - \frac12 \Delta x)}{\Delta x}$$

se aproxima a $f'$ y tiene límite $f'(x_0)$ como $\Delta x \to 0$ . ¿Estoy en lo cierto al razonar a partir de esto que dadas dos funciones $\alpha (x)$ , $\beta(x)$ diferenciable en $x_0$ tenemos que

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\alpha(x_0 - \Delta x)\beta(x_0 - \Delta x) - \alpha(x_0 + \Delta x)\beta(x_0 + \Delta x)}{\Delta x}\\ = -2(\alpha \beta)'(x_0) = -2\alpha'(x_0)\beta(x_0) - 2\alpha(x_0) \beta'(x_0)?$$

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que $\frac{f(x+\frac{1}{2}\delta) - f(x-\frac{1}{2}\delta)}{\delta} = \frac{f(x+\frac{1}{2}\delta) - f(x)+f(x)-f(x-\frac{1}{2}\delta)}{\delta} =\frac{1}{2} \frac{f(x+\frac{1}{2}\delta) - f(x)}{\frac{1}{2}\delta} + \frac{1}{2} \frac{f(x-\frac{1}{2}\delta) -f(x)}{-\frac{1}{2}\delta}$ .

De ello se desprende que $\lim_{\delta \to 0} \frac{f(x+\frac{1}{2}\delta) - f(x-\frac{1}{2}\delta)}{\delta} = f'(x)$ .

La fórmula del producto $\alpha \beta$ se deduce de la regla del producto $(\alpha \beta)' = \alpha' \beta + \alpha \beta'$ (y escalado por $2$ en la formulación anterior).