Pregunta sobre el núcleo de las transformaciones lineales

Question

Dejemos que $T:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ representan una transformación lineal tal que $\ker(T)=\ker(T\circ T)$ demostrar que..:

$$\ker(T\circ T)=\ker(T\circ T \circ T)$$

Intenté demostrarlo utilizando la matriz estándar:

Dejemos que $A$ representan la matriz estándar de $T$ , entonces podemos deducir que:

$Ax=A^2x=0$ para algún vector $x\in\mathbb R^n$ ya que $\ker(T)=\ker(T\circ T)$ .

Multipliegue $A$ a la igualdad me da $A^2x=A^3x=0$ Por lo tanto $\ker(T\circ T) = \ker(T\circ T \circ T)$

¿Me estoy perdiendo algo en esta prueba? ¿Hay alguna otra forma de demostrarlo?

Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}$ $x \in \Ker T^2$ . Tenemos:

$$T^3x = T(T^2x) = T(0) = 0$$

así que $x \in \Ker T^3$ . Concluimos $\Ker T^2 \subseteq \Ker T^3$ .

Ahora dejemos que $x \in \Ker T^3$ . Tenemos:

$$0 = T^3x = T^2(Tx)$$

Esto implica $Tx \in \Ker T^2 = \Ker T$ . Por lo tanto, $T^2x = T(Tx) = 0$ Así que $x \in \Ker T^2$ . Concluimos $\Ker T^3 \subseteq \Ker T^2$ .

Por lo tanto, $\Ker T^2 =\Ker T^3$ .