Actualmente estoy leyendo el libro "Transformadas de Fourier-Mukai en Geometría Algebraica" escrito por Daniel Huybrechts, y me encuentro con un problema que no encuentro respuestas en internet. Este es el contexto : (cf. sección 2.2 observación 2.51)
Considere $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ dos categorías abelianas, y supongamos que tenemos una $\textit{exact}$ functor $$F : K^+(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B})$$ (nótese que los funtores no tienen que provenir de un functor entre categorías abelianas), donde $K(\mathcal{A})$ denota la categoría de homotopía de los complejos de objetos en $\mathcal{A}$ y el $"+"$ significa que tomamos complejos inferiores acotados. Mi objetivo es entender en qué caso podemos definir un functor derivado $RF : D^+(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ entre las categorías derivadas.
La observación 2.51 del libro dice lo siguiente :
Supongamos que existe una subcategoría triangulada $\mathcal{K}_F$ de $K^+(\mathcal{A})$ que es $\textit{adapted}$ a $F$ , $i.e.$ que satisface :
Si $A^\bullet$ es acíclico ( $i.e$ $H^n(A^\bullet)=0$ para todos $n$ ), entonces $F(A^\bullet)$ es acíclico.
Cualquier $A^\bullet \in K^+(\mathcal{A})$ es cuasi-isomorfo a un complejo en $\mathcal{K}_F$ .
Entonces existe un functor derivado $RF : D^+(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ que satisface las propiedades clásicas de los funtores derivados.
Aquí están mis intentos: para cualquier complejo $A^\bullet$ en $K^+(\mathcal{A})$ podemos encontrar un complejo $T_{A^\bullet} \in \mathcal{K}_F$ y un cuasi-isomorfismo $A^\bullet \to T_{A^\bullet}$ por lo que es natural definir $RF(A^\bullet) := F(T_{A^\bullet})$ como solemos hacer cuando consideramos categorías abelianas con suficientes injectivos. Ahora mi problema viene cuando quiero definir $RF$ en las flechas. Sé, por la primera hipótesis, que $F$ preserva los cuasi-isomorfismos $\textit{within}$ $\mathcal{K_F}$ .
Considere una flecha $A^\bullet \leftarrow C^\bullet \rightarrow B^\bullet$ de $A^\bullet$ a $B^\bullet$ en $D^+(\mathcal{A})$ donde la flecha de la izquierda es un cuasi-isomorfismo. Me gustaría obtener un techo $$F(T_{A^\bullet}) \leftarrow F(T_{C^\bullet}) \rightarrow F(T_{B^\bullet})$$ pero no puedo averiguar cómo obtener un morfismo $F(T_{C^\bullet}) \to F(T_{A^\bullet})$ . Intenté de múltiples maneras, por ejemplo usar axiomas de categorías trianguladas para llenar un morfismo de triángulo distinguido como : $\require{AMScd}$
\begin{CD} C^\bullet @>>> T_{C^\bullet} @>>> C(j_{C^\bullet}) @>>> C^\bullet[1] \\ @VVV@.@VVV@VVV\\ A^\bullet @>>> T_{A^\bullet} @>>> C(j_{A^\bullet}) @>>> A^\bullet[1] \end{CD}
donde $C(f)$ significa que el $\textit{mapping cone}$ de $f$ y $j_{A^\bullet}$ es el cuasi-isomorfismo $A^\bullet \to T_{A^\bullet}$ pero no he podido encontrar un buen morfismo complejo $C(j_{C^\bullet}) \to C(j_{A^\bullet})$ .
Ahora, mirando otras referencias ("Derived categories of coherent sheaves and equivalences between them", D. O. Orlov, lemma 1.1.6 ; "Residues and duality", Harthshorne, proposition 3.3 & theorem 5.1), creo que lo que debería mostrar es que $\mathcal{K}_F$ es $\textit{left cofinal}$ en $K^+(\mathcal{A})$ con respecto a los cuasi-isomorfismos, que para cualquier cuasi-isomorfismo $$s : X^\bullet \to Y^\bullet$$ con $Y^\bullet \in \mathcal{K}_F$ hay un morfismo $f : Z^\bullet \to X^\bullet$ con $Z \in \mathcal{K}_F$ y tal que $s\circ f$ es un cuasi-isomorfismo.
No soy un experto en localización en categorías, y probablemente se me escapen algunos argumentos de álgebra homológica más sencillos, pero si alguien pudiera darme alguna ayuda sobre esto, se lo agradecería mucho.
