Suponga que tiene una serie infinita $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 9}$$
Utilizando la prueba de comparación directa, la secuencia se puede comparar obviamente con $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ ya que es menor, y luego por la prueba de la serie p, ya que $\sum\frac{1}{n^2}$ converge $\sum\frac{1}{n^2+9}$ también converge. Esto tiene sentido ya que cuando $\lim{n\to \infty}$ El $9$ es insignificante.
Sin embargo, en otros casos, la serie no es sencilla. Por ejemplo: $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln^4(x)}{n}$$ El comportamiento final en $\infty$ no es tan sencillo como el primero. ¿Cómo saber qué secuencia comparar $\frac{\ln^4(n)}{n}$ ¿a? ¿Cómo sabes qué término es el dominante? ¿Tomar la derivada y comparar? ¿Existe una técnica?
Otro ejemplo: $$\sum_{n=2}^\infty\frac{n}{n^3-1}$$ Sé que la secuencia se compara con $\frac{1}{n^2}$ pero ¿hay alguna técnica lógica que nos permita hacer esa comparación?
Esencialmente, mi pregunta es ¿cómo se calcula la secuencia de comparación? Antes, me han enseñado a tomar el término más dominante en el numerador y el denominador y utilizarlos como comparación, pero creo que esta técnica es propensa a errores. Me doy cuenta de que estas preguntas son un poco elementales, pero creo que la lógica básica sería útil.
Gracias.
