Sé que esto puede ser muy simple, pero no obstante, aquí está. Digamos que tengo un anillo con un radio de $r$ y la anchura de $dr$ . Estoy tratando de encontrar la superficie $dS$ del anillo. ¿No es $dS = \pi[(r+dr)^2 - r^2]$ ? Porque en mi libro de física dice que $dS = 2\pi rdr$ . He hecho los cálculos y encuentro que $dS = \pi dr(2r+dr)$ .
Respuesta
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La fórmula $$dS = \pi [(r+dr)^2 - r^2] = 2 \pi r \,dr + \pi (dr)^2 \tag1$$ es correcto. Pero su libro va un paso más allá: cuando $dr$ es pequeño, el término $\pi (dr^2)$ es mucho menor que $2 \pi r \,dr$ lo que la hace prescindible en determinados contextos. Por ejemplo, si se establece una integral sobre la región cortándola en anillos circulares de tamaño $dr$ entonces la contribución total de los términos con $(dr)^2$ tenderá a cero a medida que $dr\to 0$ .
También es correcto escribir $$dS = 2 \pi r \,dr \tag2$$ excepto que ahora el significado de $dS$ y $dr$ no es el mismo que en (1); ya no se refieren a formas geométricas concretas, sino que describen el comportamiento límite de una familia de dichas formas.
