¿Cuándo una Matriz Cuadrada tiene una Descomposición LU?

Question

¿Cuándo podemos dividir una matriz cuadrada (filas = columnas) en su descomposición LU? La LUP (Descomposición LU con pivote) siempre existe; sin embargo, una verdadera descomposición LU no siempre existe. ¿Cómo sabemos si existe/no existe? (Nota: la descomposición y la factorización son equivalentes en este artículo)

Desde el El artículo de Wikipedia sobre las descomposiciones LU :

Cualquier matriz cuadrada $A$ admite una factorización LUP. Si $A$ es invertible, entonces admite una factorización LU (o LDU) si y sólo si todos sus principales menores no son cero. Si $A$ es una matriz singular de rango $k$ entonces admite una factorización de la LU si la primera $k$ los principales menores no son cero, aunque lo contrario no es cierto.

Esto implica que para una matriz cuadrada:

1. LUP siempre existe (Podemos usar esto para averiguar rápidamente el determinante).
2. Si la matriz es invertible (el determinante no es 0), entonces una descomposición pura de LU existe sólo si los principales menores no son 0.
3. Si la matriz no es invertible (el determinante es 0), entonces no podemos saber si hay una descomposición de LU pura.

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El problema es esta tercera declaración aquí. "Si $A$ es una matriz singular de rango $k$ entonces admite una factorización de la LU si la primera $k$ Los principales menores principales son no-cero", nos da una forma de averiguar si la descomposición de LU existe para una matriz singular (no invertible). Sin embargo, luego dice, "aunque lo contrario no es cierto", implicando que incluso si un menor principal principal es 0, que todavía podríamos tener una descomposición de LU válida que no podemos detectar.

Esto nos lleva de nuevo a la pregunta: ¿hay alguna manera de saber realmente si una matriz tiene una descomposición de LU?

Answer 1

Punto principal del artículo mencionado anteriormente:

La matriz A (k por k) tiene factorización LU si: $$\mathsf Rank(A_{11})+k\geq Rank(\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \end{bmatrix}) +Rank(\begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \end{bmatrix})$$

Answer 2

Las condiciones necesarias y suficientes en términos de desigualdades de rango se dan en:

http://arxiv.org/pdf/math/0506382v1.pdf

Aunque haya pasado un tiempo, ¡espero que te sirva de ayuda!