He aquí una aproximación a la cuestión:
$\mathbb{C}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}(S)$ donde $S$ es una base de trascendencia. Si recuerdas la prueba de la existencia de una base de trascendencia, entonces te das cuenta de que utiliza el lema de Zorn y que en realidad podemos hacer que $\pi\in S$ . En particular, cualquier permutación de $S$ induce un automorfismo de $\mathbb C$ ( $\mathbb C$ es algebraicamente cerrado). Por lo tanto, para cualquier elemento $s$ de $S$ se tiene un automorfismo de $\mathbb C$ que envía $\pi\mapsto s$ . Así, la órbita de $\pi$ contiene $S$ .
Un primer corolario es que la órbita de $\pi$ tiene la cardinalidad del continuo (al igual que $S$ ). Por lo tanto, es "isomorfo a $\mathbb C$ " si se refiere al tamaño.
Además, dejemos que $z\in \mathbb{C}$ sea un número complejo que sea algebraicamente independiente de $\pi$ . Entonces, por la misma observación anterior, hay $S$ que contiene tanto $\pi$ y $z$ y, por tanto, existe un automorfismo que envía $\pi\to z$ . Así, la órbita contiene $\pi$ y todo número complejo algebraicamente independiente.
Por supuesto, este argumento funciona cuando se sustituye $\pi$ por cualquier número complejo trascendental; y no lo hace para los números complejos algebraicos (cuya órbita tiene el tamaño del grado de su polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ ).
Pero podemos ir más allá: supongamos que tenemos dos números trascendentales, $z,w$ . Luego están las bases de la trascendencia $S_1, S_2$ tal que $z\in S_1, w\in S_2$ . Además, estas dos bases de trascendencia tienen la misma cardinalidad, por lo que existe una biyección $f: S_1\to S_2$ enviando $z\mapsto w$ que induce un isomorfismo $\mathbb{Q}(S_1)\to \mathbb{Q}(S_2)$ que se extiende a $\mathbb{C\to C}$ ( $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado) y por lo tanto envía $z\mapsto w$ . Así, la órbita de cualquier número complejo trascendental es el conjunto de todos los números complejos trascendentales.
Por lo tanto, tenemos tres tipos de órbitas :
1- los racionales, tienen una órbita única, son fijados por cualquier automorfismo.
2- los números complejos algebraicos, su órbita es el conjunto de todas las raíces de su polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$
3- Los números complejos trascendentales, que forman una órbita en conjunto.
Ahora su pregunta 2. tiene una respuesta obvia que es no: si $\sigma (z) =1$ entonces $z=1$ . Lo máximo que se puede pedir es que haya $z$ tal que su órbita es precisamente el conjunto de los números complejos trascendentales, que es lo que hemos demostrado antes.
